Troisième · Fiche méthode 7 sur 12 · Fonctions affines
Comment déterminer une fonction affine à partir de deux points ?
Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax+b$. Le coefficient $a$ se calcule par $a = \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$, puis on trouve $b$ en remplaçant dans l'une des deux égalités connues.
La méthode en 5 étapes
1Écrire la forme générale
On pose $f(x) = ax+b$ : deux inconnues à déterminer, $a$ puis $b$.
2Calculer le coefficient directeur
$a = \dfrac{\text{différence des images}}{\text{différence des antécédents}}$. L'ordre doit être le même en haut et en bas.
3Trouver l'ordonnée à l'origine
On remplace $a$ par sa valeur et on utilise l'un des deux points connus : on obtient une équation du premier degré en $b$.
4Écrire l'expression
On conclut par $f(x) = \ldots x+\ldots$
5Vérifier avec le second point
On teste l'expression trouvée sur le point qui n'a pas servi à calculer $b$ : c'est la vérification la plus sûre.
Un exemple entièrement résolu
Déterminer la fonction affine $f$ telle que $f(2) = 7$ et $f(5) = 16$.
$f(x) = ax+b$.
$a = \dfrac{16-7}{5-2}=\dfrac{9}{3}=3$.
On utilise $f(2) = 7$ : $3\times 2+b = 7$, donc $6+b = 7$ et $b = 1$.
$f(5) = 3\times 5+1 = 16$. C'est bien la valeur donnée.
Conclusion. La fonction cherchée est $f(x) = 3x+1$.
Les erreurs à ne pas faire
- Inverser le quotient : c'est la différence des images qui est au numérateur.
- Mélanger l'ordre des points : si on écrit $f(x_2)-f(x_1)$ en haut, il faut écrire $x_2-x_1$ en bas.
- Oublier de calculer $b$ et s'arrêter au coefficient directeur.
- Confondre fonction affine ($ax+b$) et fonction linéaire ($ax$), qui est le cas particulier $b = 0$.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Déterminer la fonction affine $f$ telle que $f(0) = 4$ et $f(3) = 10$.
Voir le corrigé
$a = \dfrac{10-4}{3-0}=2$. Comme $f(0) = b$, on a directement $b = 4$.
$f(x) = 2x+4$.
- Exercice 2
Déterminer la fonction affine passant par les points $A(-1\,;5)$ et $B(3\,;-3)$.
Voir le corrigé
$a = \dfrac{-3-5}{3-(-1)}=\dfrac{-8}{4}=-2$. Avec $A$ : $-2\times(-1)+b = 5$, donc $2+b = 5$ et $b = 3$.
$f(x) = -2x+3$. Vérification avec $B$ : $-6+3 = -3$.
- Exercice 3
Un taxi facture $4$ € de prise en charge puis $1{,}20$ € par kilomètre. Exprimer le prix $P$ en fonction de la distance $x$, puis calculer le prix pour $12$ km.
Voir le corrigé
Le prix augmente de $1{,}20$ € par km, donc $a = 1{,}2$ ; la prise en charge est le prix pour $0$ km, donc $b = 4$.
$P(x) = 1{,}2x+4$. Pour $x = 12$ : $P = 14{,}4+4 = 18{,}40$ €.
Questions fréquentes
Que représentent a et b graphiquement ?
$a$ est le coefficient directeur : il mesure la pente, c'est-à-dire de combien monte la droite quand $x$ augmente de $1$. $b$ est l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur où la droite coupe l'axe vertical, autrement dit $f(0)$.
Comment reconnaître une fonction affine dans un énoncé ?
Dès qu'il y a une partie fixe et une partie proportionnelle : un abonnement plus un prix à l'unité, une prise en charge plus un tarif kilométrique. Si la partie fixe est nulle, la fonction est linéaire et la situation est proportionnelle.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Fonctions affines en Troisième, voici le reste des ressources du site :