Seconde · Fiche méthode 7 sur 12 · Fonctions
Comment étudier les variations d'une fonction ?
Une fonction est croissante sur un intervalle si elle conserve l'ordre ($a
La méthode en 5 étapes
1Délimiter l'intervalle d'étude
Une fonction n'est pas croissante « en général » : elle l'est sur un intervalle. La fonction carré décroît sur $]-\infty\,;0]$ et croît sur $[0\,;+\infty[$.
2Utiliser les variations de référence
$x\mapsto ax+b$ : croissante si $a>0$, décroissante si $a<0$. $x\mapsto x^2$ : décroissante puis croissante, sommet en $0$. $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ : décroissante sur chacun des deux intervalles.
3Revenir à la définition si nécessaire
On prend $a
4Dresser le tableau de variations
Première ligne : $x$ avec les bornes et les valeurs charnières. Seconde ligne : des flèches montantes ou descendantes, et les images aux extrémités.
5Lire les extremums
Un maximum est la plus grande valeur atteinte, un minimum la plus petite. On précise toujours en quelle valeur de $x$ il est atteint.
Un exemple entièrement résolu
Soit $f(x) = x^2-4x+1$ sur $[-1\,;5]$, dont le sommet est en $x = 2$. Dresser le tableau de variations et donner le minimum.
Le coefficient de $x^2$ est positif : la parabole est tournée vers le haut, donc $f$ décroît puis croît, avec un changement en $x = 2$.
$f(-1) = 1+4+1 = 6$ ; $f(2) = 4-8+1 = -3$ ; $f(5) = 25-20+1 = 6$.
Sur $[-1\,;2]$, $f$ décroît de $6$ à $-3$ ; sur $[2\,;5]$, elle croît de $-3$ à $6$.
La plus petite valeur atteinte est $-3$, en $x = 2$.
Conclusion. $f$ décroît sur $[-1\,;2]$ puis croît sur $[2\,;5]$. Son minimum vaut $-3$, atteint en $x = 2$.
Les erreurs à ne pas faire
- Dire qu'une fonction est croissante sans préciser l'intervalle.
- Confondre le minimum (une image, ici $-3$) et la valeur où il est atteint (un antécédent, ici $2$).
- Affirmer que $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}^*$ : elle l'est sur chacun des deux intervalles séparément, pas sur leur réunion.
- Lire le tableau à l'envers : les flèches décrivent les images, pas les $x$.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Donner les variations de $f(x) = -3x+5$ sur $\mathbb{R}$, en justifiant.
Voir le corrigé
C'est une fonction affine de coefficient directeur $a = -3$, qui est négatif.
Donc $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.
- Exercice 2
$f$ est croissante sur $[0\,;10]$ avec $f(2) = 7$. Que peut-on dire de $f(5)$ ?
Voir le corrigé
La fonction est croissante et $2<5$, donc $f(2)\le f(5)$.
On peut affirmer que $f(5)\ge 7$, sans pouvoir en dire plus.
- Exercice 3
Soit $f(x) = x^2$ sur $[-3\,;2]$. Quel est le maximum de $f$ et où est-il atteint ?
Voir le corrigé
$f$ décroît sur $[-3\,;0]$ puis croît sur $[0\,;2]$. Les valeurs aux bornes valent $f(-3) = 9$ et $f(2) = 4$.
Le maximum vaut $9$, atteint en $x = -3$ ; le minimum vaut $0$, atteint en $x = 0$.
Questions fréquentes
Comment comparer deux images sans calculer ?
On utilise le sens de variation : si $f$ est croissante sur un intervalle contenant $a$ et $b$ avec $a
Comment obtient-on les variations en première ?
Avec la dérivée : on étudie son signe, et la fonction croît là où la dérivée est positive. La seconde s'appuie sur les fonctions de référence et la définition ; la première donne l'outil général.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Fonctions en Seconde, voici le reste des ressources du site :