Seconde · Fiche méthode 11 sur 12 · Équations
Comment résoudre une équation avec des fractions ?
On commence par chercher les valeurs interdites (celles qui annulent un dénominateur), puis on se ramène à une équation sans fraction, soit en multipliant par le dénominateur commun, soit par un produit en croix. On vérifie enfin que les solutions sont autorisées.
La méthode en 5 étapes
1Déterminer les valeurs interdites
On résout « chaque dénominateur $= 0$ ». Ces valeurs sont exclues de l'ensemble de résolution dès le départ, et elles ne pourront jamais être solutions.
2Se ramener à une forme sans fraction
Égalité de deux quotients : produit en croix. Sinon, on multiplie les deux membres par le dénominateur commun.
3Résoudre l'équation obtenue
C'est en général une équation du premier degré, ou une équation produit après factorisation.
4Éliminer les solutions interdites
Si une solution trouvée figure parmi les valeurs interdites, on la rejette.
5Vérifier
On remplace dans l'équation initiale pour contrôler l'égalité.
Un exemple entièrement résolu
Résoudre $\dfrac{2x+1}{x-3} = 5$.
$x-3 = 0$ pour $x = 3$ : la valeur $3$ est interdite, on résout sur $\mathbb{R}\setminus\{3\}$.
On multiplie les deux membres par $x-3$ : $2x+1 = 5(x-3)$.
$2x+1 = 5x-15$, donc $-3x = -16$ et $x = \dfrac{16}{3}$.
$\dfrac{16}{3}\neq 3$ : la solution est autorisée. Vérification : $\dfrac{2\times\frac{16}{3}+1}{\frac{16}{3}-3}=\dfrac{\frac{35}{3}}{\frac{7}{3}}=5$.
Conclusion. $S = \left\{\dfrac{16}{3}\right\}$.
Les erreurs à ne pas faire
- Oublier de chercher les valeurs interdites, et garder une solution qui annule un dénominateur.
- Multiplier un seul membre par le dénominateur.
- Simplifier une fraction en barrant un terme d'une somme : dans $\dfrac{x+2}{x}$, on ne peut pas barrer les $x$.
- Appliquer le produit en croix à une expression qui n'est pas une égalité de deux quotients.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Résoudre $\dfrac{3}{x} = \dfrac{5}{x+4}$.
Voir le corrigé
Valeurs interdites : $0$ et $-4$. Produit en croix : $3(x+4) = 5x$, soit $3x+12 = 5x$ et $x = 6$.
$6$ n'est pas interdit : $S = \{6\}$.
- Exercice 2
Résoudre $\dfrac{x}{2}+\dfrac{x-1}{3} = 4$.
Voir le corrigé
Pas de valeur interdite. On multiplie tout par $6$ : $3x+2(x-1) = 24$, soit $5x-2 = 24$ et $x = \dfrac{26}{5}$.
$S = \left\{\dfrac{26}{5}\right\}$, soit $5{,}2$.
- Exercice 3
Résoudre $\dfrac{x^2-9}{x+3} = 0$.
Voir le corrigé
Valeur interdite : $-3$. Un quotient est nul quand son numérateur l'est : $x^2-9 = 0$, donc $x = 3$ ou $x = -3$.
La valeur $-3$ est interdite, on la rejette : $S = \{3\}$.
Questions fréquentes
Pourquoi certaines valeurs sont-elles interdites ?
Parce que la division par zéro n'a pas de sens. Une expression comme $\dfrac{2x+1}{x-3}$ n'existe tout simplement pas pour $x = 3$ : cette valeur ne peut donc pas être solution, même si le calcul semble la produire après multiplication.
Quand un quotient est-il nul ?
Quand son numérateur est nul et que son dénominateur ne l'est pas. On résout donc « numérateur $= 0$ », puis on écarte les valeurs interdites. C'est la même logique que la règle du produit nul, transposée aux quotients.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Équations en Seconde, voici le reste des ressources du site :