Seconde · Fiche méthode 8 sur 12 · Statistiques
Comment calculer des quartiles ?
On range la série, puis on calcule $\dfrac{N}{4}$ et $\dfrac{3N}{4}$. Si le résultat n'est pas entier, on arrondit à l'entier supérieur ; s'il est entier, on prend directement la valeur de ce rang. $Q_1$ et $Q_3$ sont les valeurs correspondantes.
La méthode en 5 étapes
1Ranger la série
Dans l'ordre croissant, en gardant toutes les répétitions.
2Compter l'effectif total N
On additionne tous les effectifs, répétitions comprises.
3Calculer le rang de Q1
On calcule $\dfrac{N}{4}$. Non entier, on prend l'entier immédiatement supérieur ; entier, on garde ce rang.
4Calculer le rang de Q3
Même règle avec $\dfrac{3N}{4}$.
5Lire les valeurs et interpréter
$Q_1$ est la valeur du rang trouvé : au moins $25\,\%$ des données lui sont inférieures ou égales. $Q_3$ : au moins $75\,\%$. L'écart interquartile $Q_3-Q_1$ mesure la dispersion du cœur de la série.
Un exemple entièrement résolu
Série de $12$ notes rangées : $4$ ; $6$ ; $7$ ; $8$ ; $9$ ; $10$ ; $11$ ; $12$ ; $13$ ; $15$ ; $16$ ; $18$. Calculer $Q_1$, la médiane et $Q_3$.
$N = 12$.
$\dfrac{12}{4} = 3$, qui est entier : $Q_1$ est la $3^{\text{e}}$ valeur, soit $7$.
$N$ est pair : la médiane est la moyenne des $6^{\text{e}}$ et $7^{\text{e}}$ valeurs, soit $\dfrac{10+11}{2} = 10{,}5$.
$\dfrac{3\times 12}{4} = 9$, entier : $Q_3$ est la $9^{\text{e}}$ valeur, soit $13$.
Conclusion. $Q_1 = 7$, médiane $= 10{,}5$, $Q_3 = 13$. L'écart interquartile vaut $13-7 = 6$ : la moitié centrale des notes tient dans $6$ points.
Les erreurs à ne pas faire
- Arrondir le rang à l'entier le plus proche : la règle impose l'entier supérieur, même pour $3{,}1$.
- Faire la moyenne de deux valeurs pour $Q_1$ comme pour la médiane : ce traitement ne concerne que la médiane.
- Oublier de ranger la série avant de compter les rangs.
- Confondre le rang et la valeur : le rang $3$ ne veut pas dire que $Q_1 = 3$.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Calculer $Q_1$ et $Q_3$ de la série rangée : $2$ ; $3$ ; $5$ ; $5$ ; $8$ ; $9$ ; $12$ (sept valeurs).
Voir le corrigé
$\dfrac{7}{4} = 1{,}75$, arrondi à $2$ : $Q_1$ est la $2^{\text{e}}$ valeur, soit $3$.
$\dfrac{21}{4} = 5{,}25$, arrondi à $6$ : $Q_3$ est la $6^{\text{e}}$ valeur, soit $9$.
- Exercice 2
Une série de $40$ données est rangée. Quels rangs donnent $Q_1$ et $Q_3$ ?
Voir le corrigé
$\dfrac{40}{4} = 10$ : $Q_1$ est la $10^{\text{e}}$ valeur.
$\dfrac{3\times 40}{4} = 30$ : $Q_3$ est la $30^{\text{e}}$ valeur.
- Exercice 3
Deux classes ont la même médiane de $11$. La première a $Q_3-Q_1 = 3$, la seconde $Q_3-Q_1 = 9$. Que peut-on en conclure ?
Voir le corrigé
L'écart interquartile mesure la dispersion de la moitié centrale des valeurs.
Les résultats de la première classe sont beaucoup plus homogènes : la moitié des élèves y tient dans $3$ points, contre $9$ dans la seconde.
Questions fréquentes
Pourquoi arrondir à l'entier supérieur ?
Parce que $Q_1$ doit être une valeur telle qu'au moins un quart de la série lui soit inférieur ou égal. Avec $N = 7$, le rang $1{,}75$ ne suffirait pas : il faut aller au rang $2$ pour couvrir au moins un quart de l'effectif.
Qu'est-ce qu'un diagramme en boîte ?
C'est la représentation graphique du résumé $\text{min}$, $Q_1$, médiane, $Q_3$, $\text{max}$ : une boîte allant de $Q_1$ à $Q_3$, coupée par la médiane, prolongée de deux moustaches jusqu'aux extrêmes. Il permet de comparer deux séries d'un seul coup d'œil.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Statistiques en Seconde, voici le reste des ressources du site :