Seconde · Fiche méthode 9 sur 12 · Probabilités
Comment calculer une probabilité avec un tableau ?
On lit les effectifs dans le tableau croisé, puis $P(A) = \dfrac{\text{effectif de }A}{\text{effectif total}}$. Pour une réunion, on applique $P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ afin de ne pas compter deux fois l'intersection.
La méthode en 5 étapes
1Compléter le tableau
On remplit d'abord toutes les cases, y compris les totaux de lignes et de colonnes. Le total général se lit dans le coin.
2Traduire les événements
« $A$ et $B$ » correspond à l'intersection $A\cap B$ : une seule case du tableau. « $A$ ou $B$ » correspond à la réunion $A\cup B$, qui est plus large.
3Calculer les probabilités simples
Effectif de l'événement divisé par l'effectif total, lu dans les marges du tableau.
4Appliquer la formule de la réunion
$P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Le terme soustrait corrige le double comptage de la case commune.
5Contrôler le résultat
Toute probabilité est comprise entre $0$ et $1$, et $P(A\cup B)$ est toujours supérieure ou égale à $P(A)$ et à $P(B)$.
Un exemple entièrement résolu
Sur $200$ élèves : $120$ font de l'anglais, $80$ de l'espagnol, et $30$ font les deux. On choisit un élève au hasard. Calculer la probabilité qu'il fasse de l'anglais ou de l'espagnol.
$A$ : « l'élève fait de l'anglais » ; $E$ : « l'élève fait de l'espagnol ».
$P(A) = \dfrac{120}{200}=0{,}6$ et $P(E) = \dfrac{80}{200}=0{,}4$.
$P(A\cap E) = \dfrac{30}{200}=0{,}15$.
$P(A\cup E) = 0{,}6+0{,}4-0{,}15 = 0{,}85$.
Conclusion. La probabilité qu'un élève fasse de l'anglais ou de l'espagnol vaut $0{,}85$. Sans la soustraction, on aurait trouvé $1$, ce qui aurait signifié à tort que tous les élèves suivent au moins une de ces deux langues.
Les erreurs à ne pas faire
- Additionner les probabilités sans retirer l'intersection : on compte deux fois les élèves qui font les deux langues.
- Confondre « et » (intersection, une seule case) et « ou » (réunion, plus large).
- Diviser par un effectif de ligne au lieu de l'effectif total quand l'énoncé ne parle pas de sous-population.
- Obtenir une probabilité supérieure à $1$, signe certain d'une erreur de comptage.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Dans un groupe de $50$ personnes, $28$ ont un chien, $22$ un chat et $10$ les deux. Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard ait un chien ou un chat ?
Voir le corrigé
$P(C) = \dfrac{28}{50}$, $P(Ch) = \dfrac{22}{50}$, $P(C\cap Ch) = \dfrac{10}{50}$.
$P(C\cup Ch) = \dfrac{28+22-10}{50}=\dfrac{40}{50}=0{,}8$.
- Exercice 2
Avec les mêmes données, quelle est la probabilité de n'avoir ni chien ni chat ?
Voir le corrigé
C'est l'événement contraire de « chien ou chat » : $1-0{,}8 = 0{,}2$.
Soit $10$ personnes sur $50$.
- Exercice 3
On tire une carte dans un jeu de $32$. Quelle est la probabilité d'obtenir un roi ou un cœur ?
Voir le corrigé
$P(\text{roi}) = \dfrac{4}{32}$, $P(\text{cœur}) = \dfrac{8}{32}$, et le roi de cœur appartient aux deux : $P(\text{roi}\cap\text{cœur}) = \dfrac{1}{32}$.
$P = \dfrac{4+8-1}{32}=\dfrac{11}{32}\approx 0{,}34$.
Questions fréquentes
Que signifie « événements incompatibles » ?
Que les deux événements ne peuvent pas se produire en même temps : leur intersection est vide, donc $P(A\cap B) = 0$ et la formule se simplifie en $P(A\cup B) = P(A)+P(B)$. Obtenir un roi et obtenir une dame en un seul tirage sont incompatibles ; obtenir un roi et obtenir un cœur ne le sont pas.
Comment utiliser l'événement contraire ?
$P(\overline{A}) = 1-P(A)$. C'est souvent bien plus rapide, en particulier pour les événements du type « au moins un » : on calcule la probabilité de « aucun » et on la retranche à $1$.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Probabilités en Seconde, voici le reste des ressources du site :