Seconde · Fiche méthode 3 sur 12 · Vecteurs
Comment calculer les coordonnées d'un vecteur ?
Les coordonnées de $\vec{AB}$ s'obtiennent par arrivée moins départ : $\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A\end{pmatrix}$. L'ordre compte : $\vec{BA}$ a les coordonnées opposées.
La méthode en 5 étapes
1Repérer le point de départ et le point d'arrivée
Dans $\vec{AB}$, $A$ est l'origine du vecteur et $B$ son extrémité. La flèche va de $A$ vers $B$.
2Soustraire dans le bon sens
Abscisse : $x_B-x_A$. Ordonnée : $y_B-y_A$. Toujours l'arrivée d'abord.
3Écrire les coordonnées en colonne
On note $\vec{AB}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$, notation qui évite de confondre un vecteur et un point.
4Calculer la norme si besoin
$\|\vec{AB}\| = \sqrt{x^2+y^2}$ : c'est la longueur $AB$, obtenue par le théorème de Pythagore.
5Combiner des vecteurs
On additionne ou soustrait coordonnée par coordonnée, et on multiplie chaque coordonnée par le nombre pour $k\vec{u}$.
Un exemple entièrement résolu
Dans un repère, $A(-2\,;3)$ et $B(4\,;1)$. Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$, celles de $\vec{BA}$, et la distance $AB$.
$x = x_B-x_A = 4-(-2) = 6$ et $y = y_B-y_A = 1-3 = -2$.
$\vec{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ -2\end{pmatrix}$
$x = -2-4 = -6$ et $y = 3-1 = 2$ : ce sont les coordonnées opposées.
$\vec{BA}\begin{pmatrix} -6 \\ 2\end{pmatrix}$
$AB = \sqrt{6^2+(-2)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$.
$\sqrt{40} = 2\sqrt{10}\approx 6{,}32$.
Conclusion. $\vec{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ -2\end{pmatrix}$, $\vec{BA}\begin{pmatrix} -6 \\ 2\end{pmatrix}$ et $AB = 2\sqrt{10}\approx 6{,}3$.
Les erreurs à ne pas faire
- Soustraire dans le mauvais sens : $\vec{AB}$ n'est pas $\vec{BA}$, les coordonnées sont opposées.
- Oublier les parenthèses avec des coordonnées négatives : $4-(-2) = 6$, et non $2$.
- Confondre les coordonnées d'un point et celles d'un vecteur : un point se place, un vecteur se déplace.
- Écrire la norme sans racine carrée.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
$C(1\,;-4)$ et $D(-3\,;2)$. Calculer les coordonnées de $\vec{CD}$ et la distance $CD$.
Voir le corrigé
$\vec{CD}\begin{pmatrix} -3-1 \\ 2-(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6\end{pmatrix}$.
$CD = \sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\approx 7{,}21$.
- Exercice 2
$\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -2 \\ 5\end{pmatrix}$. Calculer les coordonnées de $\vec{u}+\vec{v}$ et de $2\vec{u}-\vec{v}$.
Voir le corrigé
$\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 4\end{pmatrix}$.
$2\vec{u}\begin{pmatrix} 6 \\ -2\end{pmatrix}$, donc $2\vec{u}-\vec{v}\begin{pmatrix} 8 \\ -7\end{pmatrix}$.
- Exercice 3
$A(0\,;1)$, $B(5\,;3)$ et $C(2\,;-1)$. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Voir le corrigé
$ABCD$ est un parallélogramme si $\vec{AB} = \vec{DC}$. Or $\vec{AB}\begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix}$.
Donc $2-x_D = 5$ et $-1-y_D = 2$, soit $x_D = -3$ et $y_D = -3$.
$D(-3\,;-3)$.
Questions fréquentes
Quelle différence entre un point et un vecteur ?
Un point a une position fixe dans le repère. Un vecteur décrit un déplacement : une direction, un sens et une longueur, sans point d'attache. Deux vecteurs de mêmes coordonnées sont égaux, même s'ils sont dessinés à des endroits différents.
Comment trouver le milieu d'un segment ?
Par la moyenne des coordonnées : $M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$. C'est une moyenne, donc une addition, à ne pas confondre avec la soustraction qui donne les coordonnées d'un vecteur.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Vecteurs en Seconde, voici le reste des ressources du site :