Seconde · Fiche méthode 1 sur 12 · Inéquations
Comment résoudre une inéquation ?
On résout comme une équation, à une différence près : multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité. On termine en donnant l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
La méthode en 5 étapes
1Développer et réduire
On supprime les parenthèses et on réduit chaque membre.
2Regrouper les x d'un côté
Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres ne change jamais le sens de l'inégalité.
3Isoler x
On divise par le coefficient de $x$. Si ce coefficient est négatif, on retourne le symbole : $\le$ devient $\ge$, $<$ devient $>$.
4Écrire l'ensemble des solutions
$x\ge 3$ s'écrit $S = [3\,;+\infty[$ ; $x<-2$ s'écrit $S = ]-\infty\,;-2[$. Le crochet est ouvert du côté de l'infini et du côté d'une inégalité stricte.
5Vérifier avec une valeur
On teste un nombre de l'intervalle trouvé dans l'inéquation de départ, et un nombre extérieur : le premier doit convenir, le second non.
Un exemple entièrement résolu
Résoudre $3(x-2)\ge 5x+4$.
$3x-6\ge 5x+4$
On soustrait $5x$ : $-2x-6\ge 4$. On ajoute $6$ : $-2x\ge 10$.
On divise par $-2$ : le sens de l'inégalité change.
$x\le -5$
Avec $x = -6$ : à gauche $3\times(-8) = -24$, à droite $-26$, et $-24\ge -26$ : vrai. Avec $x = 0$ : $-6\ge 4$ est faux. L'intervalle est bien le bon.
Conclusion. $S = ]-\infty\,;-5]$ : les solutions sont tous les réels inférieurs ou égaux à $-5$.
Les erreurs à ne pas faire
- Oublier de retourner le symbole en divisant par un nombre négatif : c'est l'erreur qui coûte le plus de points du chapitre.
- Retourner le symbole en ajoutant un nombre négatif : seules la multiplication et la division par un négatif changent le sens.
- Écrire l'intervalle avec un crochet fermé du côté de l'infini : $[3\,;+\infty]$ n'a pas de sens.
- Répondre par une valeur unique : les solutions d'une inéquation forment tout un intervalle.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Résoudre $4x+7<19$.
Voir le corrigé
$4x<12$, puis en divisant par $4$ (positif, le sens ne change pas) : $x<3$.
$S = ]-\infty\,;3[$.
- Exercice 2
Résoudre $-5x+2\le 17$.
Voir le corrigé
$-5x\le 15$. On divise par $-5$ et on retourne le symbole : $x\ge -3$.
$S = [-3\,;+\infty[$.
- Exercice 3
Un forfait A coûte $20$ € plus $0{,}10$ € par SMS ; un forfait B coûte $12$ € plus $0{,}25$ € par SMS. À partir de combien de SMS le forfait A est-il plus avantageux ?
Voir le corrigé
On cherche $x$ tel que $20+0{,}1x<12+0{,}25x$, soit $8<0{,}15x$ et $x>\dfrac{8}{0{,}15}\approx 53{,}3$.
Le forfait A devient plus avantageux à partir de $54$ SMS.
Questions fréquentes
Pourquoi le sens change-t-il avec un nombre négatif ?
Parce que multiplier par un négatif retourne l'ordre des nombres sur la droite graduée : $2<5$, mais $-2>-5$. Pour que l'inégalité reste vraie après multiplication par $-1$, il faut donc retourner le symbole.
Comment noter les solutions ?
Sous forme d'intervalle, avec des crochets : fermé quand la valeur est incluse ($\le$ ou $\ge$), ouvert quand elle ne l'est pas ($<$ ou $>$) et toujours ouvert du côté de l'infini. On peut aussi représenter l'intervalle sur une droite graduée, ce que beaucoup d'énoncés demandent en complément.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Inéquations en Seconde, voici le reste des ressources du site :