Factorielle : définition
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Définition
La factorielle d'un entier naturel $n$, notée $n!$, est le produit de tous les entiers de 1 à $n$.
Notation : $n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$, avec la convention $0! = 1$.
En clair
C'est $1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n$ : le nombre de façons de ranger $n$ objets.
Ce qu'il faut retenir
- $0! = 1$ par convention, ce qui rend les formules cohérentes.
- $n! = n \times (n-1)!$.
- $5! = 120$, $6! = 720$, $7! = 5\,040$.
- La factorielle apparaît dans les coefficients binomiaux et les arrangements.
- Elle croît extrêmement vite : $20!$ dépasse déjà $2 \times 10^{18}$.
Exemple
$\dfrac{7!}{5!} = 7 \times 6 = 42$ : on simplifie sans tout calculer.
À ne pas confondre avec
- Puissance — la factorielle multiplie des facteurs différents, la puissance répète le même.
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Termes liés
Permutation Combinaison Coefficient binomial Dénombrement Produit Épreuve de Bernoulli Loi binomiale Loi des grands nombres Schéma de Bernoulli
Questions fréquentes sur « factorielle »
Combien vaut $0!$ ?
1, par convention.
Comment simplifier un quotient de factorielles ?
On écrit la plus grande en fonction de la plus petite : $\dfrac{n!}{(n-2)!} = n(n-1)$.