∑Synthèses de cours de maths
Chapitres de Terminale
  1. Suites : récurrence et limites
  2. Limites de fonctions et asymptotes
  3. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
  4. Dérivation : composées et convexité
  5. Fonction logarithme népérien
  6. Primitives et équations différentielles
  7. Calcul intégral
  8. Vecteurs, droites et plans de l'espace
  9. Produit scalaire dans l'espace et équations de plans
  10. Dénombrement
  11. Épreuves de Bernoulli et loi binomiale
  12. Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres

Terminale — chapitre 12 sur 12

Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres

La moyenne d'un échantillon a la même espérance que $X$ mais une variance divisée par $n$ : c'est le cœur de la loi des grands nombres.

Propriété — espérance et variance d'une somme

$E(X+Y) = E(X)+E(Y)$ et $E(aX) = aE(X)$ (linéarité, toujours vraie). Si $X$ et $Y$ sont indépendantes : $V(X+Y) = V(X)+V(Y)$ ; $V(aX) = a^2V(X)$.

Définition — échantillon, moyenne

Un échantillon de taille $n$ de $X$ est une liste $(X_1,\ldots,X_n)$ de variables indépendantes de même loi que $X$. Somme $S_n = X_1+\cdots+X_n$ et moyenne $M_n = \dfrac{S_n}n$ : $$E(S_n) = nE(X),\ V(S_n) = nV(X)\qquad E(M_n) = E(X),\ V(M_n) = \dfrac{V(X)}n,\ \sigma(M_n) = \dfrac{\sigma(X)}{\sqrt n}.$$

Propriété — loi binomiale comme somme

Une variable $\mathcal B(n\,;p)$ est la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$, d'où $E = np$ et $V = np(1-p)$.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Pour tout $\delta>0$ : $$P\big(|X-E(X)|\ge\delta\big)\le\dfrac{V(X)}{\delta^2}.$$ (Inégalité de Markov pour $X\ge0$ : $P(X\ge a)\le\dfrac{E(X)}a$.)

Inégalité de concentration et loi des grands nombres

$P\big(|M_n-E(X)|\ge\delta\big)\le\dfrac{V(X)}{n\delta^2}$. Par conséquent, pour tout $\delta>0$, $\lim_{n\to+\infty}P\big(|M_n-E(X)|\ge\delta\big) = 0$ : la moyenne d'un grand échantillon est proche de l'espérance (loi faible des grands nombres).

Exemple

Dé équilibré, $E(X) = 3{,}5$, $V(X)\approx2{,}92$. Sur $n = 1000$ lancers, $P(|M_n-3{,}5|\ge0{,}2)\le\dfrac{2{,}92}{1000\times0{,}04}\approx0{,}073$.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Quelle est l'espérance d'une somme de variables aléatoires ?

$E(X+Y) = E(X)+E(Y)$ toujours ; $V(X+Y) = V(X)+V(Y)$ seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Que dit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

$P(|X-E(X)|\ge\delta)\le\dfrac{V(X)}{\delta^2}$ : la probabilité de s'éloigner de l'espérance est contrôlée par la variance.

Qu'est-ce que la loi des grands nombres ?

La moyenne $M_n$ d'un échantillon de taille $n$ se rapproche de l'espérance quand $n$ grandit : $P(|M_n-\mu|\ge\delta)\to0$.

Comment évolue l'écart-type d'une moyenne d'échantillon ?

$\sigma(M_n) = \dfrac\sigma{\sqrt n}$ : pour diviser l'écart-type par $2$, il faut multiplier la taille de l'échantillon par $4$.
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