Maths Sup (MPSI) — chapitre 4 sur 13

Suites réelles

Q: Que dit le théorème de Bolzano-Weierstrass ?

De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

Q: Qu'est-ce que la borne supérieure ?

Le plus petit des majorants d'une partie non vide majorée de R. Elle existe toujours dans R, contrairement à Q.

Q: Comment étudier une suite récurrente u(n+1) = f(u(n)) ?

Trouver un intervalle stable contenant u_0, étudier la monotonie de f (si f croît, la suite est monotone), identifier les points fixes comme limites possibles, puis conclure par convergence monotone.

Q: Peut-on additionner des équivalents ?

Non : n+1 n et -n-n mais (n+1)+(-n) = 10. On peut les multiplier, diviser et élever à une puissance.

Toute partie non vide majorée de $\mathbb R$ admet une borne supérieure : c'est l'axiome qui fait fonctionner l'analyse réelle.

Théorème — borne supérieure

Toute partie non vide et majorée de $\mathbb R$ admet une borne supérieure $\sup A$ (plus petit majorant). Caractérisation : $M = \sup A\iff M$ majore $A$ et $\forall\varepsilon>0,\ \exists a\in A,\ a>M-\varepsilon$.

Définition — limite

$u_n\to\ell$ si $\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall n\ge N,\ |u_n-\ell|\le\varepsilon$. Une suite convergente est bornée et sa limite est unique.

Théorèmes de convergence

Suite croissante majorée (resp. décroissante minorée) : converge vers sa borne supérieure (resp. inférieure).
Gendarmes et comparaison.
Suites adjacentes ($u$ croissante, $v$ décroissante, $v_n-u_n\to0$) : convergent vers la même limite.

Théorème — Bolzano-Weierstrass

De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente. Si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite, alors $(u_n)$ converge.

Méthode — suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$

Trouver un intervalle $I$ stable par $f$ contenant $u_0$ ; si $f$ est croissante sur $I$, $(u_n)$ est monotone (sens donné par $u_1-u_0$) ; les limites possibles sont les points fixes ; si $f$ est $k$-lipschitzienne avec $k<1$, convergence géométrique vers l'unique point fixe.

Définition — relations de comparaison

$u_n = o(v_n)$ si $\dfrac{u_n}{v_n}\to0$ ; $u_n = O(v_n)$ si $\dfrac{u_n}{v_n}$ est bornée ; $u_n\sim v_n$ si $\dfrac{u_n}{v_n}\to1$. Les équivalents se multiplient et se divisent mais ne s'additionnent pas ; ils se composent avec les puissances, pas avec $\ln$ ou $\exp$ en général.

Exemple

$\sqrt{n^2+n}-n = \dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\sim\dfrac n{2n} = \dfrac12$ ; $\ln(n+1)\sim\ln n$ ; $\sin\dfrac1n\sim\dfrac1n$.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Que dit le théorème de Bolzano-Weierstrass ?

De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

Qu'est-ce que la borne supérieure ?

Le plus petit des majorants d'une partie non vide majorée de $\mathbb R$. Elle existe toujours dans $\mathbb R$, contrairement à $\mathbb Q$.

Comment étudier une suite récurrente u(n+1) = f(u(n)) ?

Trouver un intervalle stable contenant $u_0$, étudier la monotonie de $f$ (si $f$ croît, la suite est monotone), identifier les points fixes comme limites possibles, puis conclure par convergence monotone.

Peut-on additionner des équivalents ?

Non : $n+1\sim n$ et $-n\sim-n$ mais $(n+1)+(-n) = 1\not\sim0$. On peut les multiplier, diviser et élever à une puissance.

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