Maths Sup (MPSI) — chapitre 2 sur 13

Nombres complexes

Q: Comment trouver les racines n-ièmes d'un nombre complexe ?

On écrit z = re^i ; les n racines sont √[n]r e^i(+2kπ)/n pour k = 0,,n-1. Elles forment un polygone régulier.

Q: Comment linéariser cos^n x ?

Avec les formules d'Euler : on écrit cos x = e^ix+e^-ix2, on développe par le binôme et on regroupe les termes conjugués.

Q: Comment calculer une somme de cosinus avec les complexes ?

On prend la partie réelle d'une somme géométrique ∑ e^ik, puis on factorise par l'angle moitié.

Q: Comment interpréter géométriquement z ↦ az + b ?

C'est une similitude directe : rotation d'angle a composée avec une homothétie de rapport |a| et une translation. Si |a| = 1 c'est un déplacement.

Le passage entre forme algébrique $a+ib$ et forme exponentielle $re^{i\theta}$ est l'outil central : la première pour additionner, la seconde pour multiplier.

Change $n$ : les racines $e^{2ik\pi/n}$ forment un polygone régulier inscrit dans le cercle unité.

Définition — forme algébrique, conjugué, module

$z = a+ib$ avec $i^2 = -1$ ; $\text{Re}\,z = a$, $\text{Im}\,z = b$. Conjugué $\bar z = a-ib$ ; module $|z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z\bar z}$. $\overline{zz'} = \bar z\,\bar z'$, $|zz'| = |z||z'|$, $\left|\dfrac1z\right| = \dfrac1{|z|}$, inégalité triangulaire $|z+z'|\le|z|+|z'|$.

Définition — argument, forme exponentielle

Pour $z\ne0$, $z = re^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg z\ [2\pi]$, où $e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta$. $\arg(zz') = \arg z+\arg z'$, $\arg\dfrac zz' = \arg z-\arg z'$, $\arg\bar z = -\arg z$.

Théorème — Moivre et Euler

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos n\theta+i\sin n\theta\qquad\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2\qquad\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.$$ Technique de l'angle moitié : $1+e^{i\theta} = 2\cos\dfrac\theta2\,e^{i\theta/2}$.

Théorème — racines $n$-ièmes

Les racines $n$-ièmes de l'unité sont les $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$, $k\in\{0,\ldots,n-1\}$ ; leur somme est nulle ($n\ge2$). Les racines $n$-ièmes de $re^{i\theta}$ sont les $\sqrt[n]{r}\,e^{i(\theta+2k\pi)/n}$.

Théorème — équation du second degré dans $\mathbb C$

$az^2+bz+c = 0$ ($a\ne0$) : $\Delta = b^2-4ac$, $\delta$ une racine carrée complexe de $\Delta$ ; solutions $\dfrac{-b\pm\delta}{2a}$. Il y a toujours deux racines (éventuellement confondues). Somme $-\dfrac ba$, produit $\dfrac ca$.

Propriété — géométrie

Affixe $z_{\vec{AB}} = z_B-z_A$ ; $AB = |z_B-z_A|$ ; $(\vec{AB},\vec{AC}) = \arg\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$. $A$, $B$, $C$ alignés $\iff\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb R$. $z\mapsto az+b$ ($a\ne0$) est une similitude directe : rotation si $|a| = 1$, homothétie si $a\in\mathbb R^*$.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Comment trouver les racines n-ièmes d'un nombre complexe ?

On écrit $z = re^{i\theta}$ ; les $n$ racines sont $\sqrt[n]{r}\,e^{i(\theta+2k\pi)/n}$ pour $k = 0,\ldots,n-1$. Elles forment un polygone régulier.

Comment linéariser cos^n x ?

Avec les formules d'Euler : on écrit $\cos x = \dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}2$, on développe par le binôme et on regroupe les termes conjugués.

Comment calculer une somme de cosinus avec les complexes ?

On prend la partie réelle d'une somme géométrique $\sum e^{ik\theta}$, puis on factorise par l'angle moitié.

Comment interpréter géométriquement z ↦ az + b ?

C'est une similitude directe : rotation d'angle $\arg a$ composée avec une homothétie de rapport $|a|$ et une translation. Si $|a| = 1$ c'est un déplacement.

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