Maths Sup (MPSI) — chapitre 12 sur 13
Applications linéaires et matrices
Le théorème du rang $\dim E = \dim\ker u+\text{rg}\,u$ et l'inversibilité d'une matrice ($\det\ne0$) structurent tout le chapitre.
$u : E\to F$ est linéaire si $u(\lambda x+y) = \lambda u(x)+u(y)$. $\ker u = \{x,\ u(x) = 0\}$ (sous-espace de $E$), $\text{Im}\,u = u(E)$ (sous-espace de $F$). $u$ injective $\iff\ker u = \{0\}$. L'image d'une base engendre $\text{Im}\,u$ ; $u$ est déterminée par l'image d'une base.
Pour $E$ de dimension finie : $$\dim E = \dim\ker u+\text{rg}\,u.$$ Si $\dim E = \dim F$ : $u$ injective $\iff$ surjective $\iff$ bijective.
$p$ est un projecteur si $p\circ p = p$ ; alors $E = \ker p\oplus\text{Im}\,p$ et $p$ est la projection sur $\text{Im}\,p$ parallèlement à $\ker p$. $s$ est une symétrie si $s\circ s = \text{id}$ ; $s = 2p-\text{id}$.
Dans des bases $\mathcal B = (e_j)$ de $E$ et $\mathcal C$ de $F$, la colonne $j$ de $\text{Mat}_{\mathcal B,\mathcal C}(u)$ contient les coordonnées de $u(e_j)$ dans $\mathcal C$. $\text{Mat}(v\circ u) = \text{Mat}(v)\,\text{Mat}(u)$ ; $u$ bijective $\iff$ sa matrice est inversible, et $\text{Mat}(u^{-1}) = \text{Mat}(u)^{-1}$.
Produit non commutatif ; $(AB)^T = B^TA^T$, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. $A\in\mathcal M_n$ est inversible $\iff$ $\text{rg}\,A = n\iff\ker A = \{0\}\iff\det A\ne0$. Inverse par le pivot de Gauss sur $(A\mid I_n)$. Binôme de Newton pour $A$, $B$ qui commutent.
$P$ matrice de passage de $\mathcal B$ à $\mathcal B'$ (colonnes : nouveaux vecteurs dans l'ancienne base). Coordonnées : $X = PX'$. Endomorphisme : $A' = P^{-1}AP$ (matrices semblables, même trace, même déterminant, même rang).
Forme $n$-linéaire alternée ; $\det(AB) = \det A\det B$, $\det A^T = \det A$, $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$. Développement selon une ligne ou une colonne ; déterminant triangulaire = produit des coefficients diagonaux ; échanger deux lignes change le signe, ajouter à une ligne une combinaison des autres ne change rien. $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = ad-bc$.
Pivot de Gauss : un système $AX = B$ à $n$ inconnues et $n$ équations a une unique solution ssi $\det A\ne0$ (système de Cramer). Sinon, il a zéro ou une infinité de solutions ; l'ensemble des solutions de $AX = 0$ est un sous-espace de dimension $n-\text{rg}\,A$.