Maths Sup (MPSI) — chapitre 10 sur 13
Polynômes et fractions rationnelles
Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines ; dans $\mathbb C$ il en a exactement $n$ comptées avec multiplicité.
$\deg(PQ) = \deg P+\deg Q$, $\deg(P+Q)\le\max$. Pour $B\ne0$, il existe un unique couple $(Q, R)$ avec $A = BQ+R$ et $\deg R<\deg B$. $a$ est racine de $P$ ssi $(X-a)$ divise $P$.
$a$ est racine d'ordre $m$ si $(X-a)^m\mid P$ et $(X-a)^{m+1}\nmid P$. Caractérisation : $P(a) = P'(a) = \cdots = P^{(m-1)}(a) = 0$ et $P^{(m)}(a)\ne0$. Un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines comptées avec multiplicité ; s'il en a plus, il est nul.
Tout polynôme non constant de $\mathbb C[X]$ admet au moins une racine dans $\mathbb C$. Conséquence : tout polynôme de $\mathbb C[X]$ est scindé : $P = \lambda\prod(X-a_k)^{m_k}$. Dans $\mathbb R[X]$, les irréductibles sont les polynômes de degré $1$ et ceux de degré $2$ à discriminant négatif ; les racines complexes non réelles d'un polynôme réel sont deux à deux conjuguées.
Si $P = a_nX^n+\cdots+a_0$ est scindé de racines $x_1,\ldots,x_n$ : $\sum x_i = -\dfrac{a_{n-1}}{a_n}$, $\prod x_i = (-1)^n\dfrac{a_0}{a_n}$ (fonctions symétriques élémentaires).
$\text{PGCD}(A,B)$ unitaire obtenu par l'algorithme d'Euclide ; $A$ et $B$ sont premiers entre eux ssi il existe $U$, $V$ avec $AU+BV = 1$ (Bézout). Lemme de Gauss.
Toute fraction rationnelle $\dfrac AB$ s'écrit de façon unique comme somme d'un polynôme (partie entière, obtenue par division euclidienne) et d'éléments simples. Dans $\mathbb C(X)$ : $\dfrac{\alpha}{(X-a)^k}$. Dans $\mathbb R(X)$ s'ajoutent les $\dfrac{\beta X+\gamma}{(X^2+pX+q)^k}$. Coefficient d'un pôle simple $a$ : $\dfrac{A(a)}{B'(a)}$.
$\dfrac{1}{X(X-1)} = -\dfrac1X+\dfrac1{X-1}$ ; $\dfrac{X}{(X-1)^2} = \dfrac1{X-1}+\dfrac1{(X-1)^2}$.