∑Synthèses de cours de maths
Chapitres de Maths Sup (MPSI)
  1. Logique, ensembles et applications
  2. Nombres complexes
  3. Fonctions usuelles
  4. Suites réelles
  5. Limites et continuité des fonctions
  6. Dérivation, Rolle, accroissements finis, Taylor
  7. Développements limités
  8. Intégration sur un segment
  9. Équations différentielles linéaires
  10. Polynômes et fractions rationnelles
  11. Espaces vectoriels et dimension finie
  12. Applications linéaires et matrices
  13. Arithmétique, dénombrement et probabilités finies

Maths Sup (MPSI) — chapitre 13 sur 13

Arithmétique, dénombrement et probabilités finies

Trois domaines discrets qui se répondent : les congruences, les coefficients binomiaux et les lois usuelles.

Arithmétique

Théorème — Bézout et Gauss

$a\wedge b = 1\iff\exists u,v\in\mathbb Z,\ au+bv = 1$. Gauss : si $a\mid bc$ et $a\wedge b = 1$, alors $a\mid c$. Si $a\mid c$, $b\mid c$ et $a\wedge b = 1$, alors $ab\mid c$. Algorithme d'Euclide étendu pour trouver $u$, $v$.

Théorème — nombres premiers, Fermat

Décomposition unique en facteurs premiers ; infinité des nombres premiers. Petit théorème de Fermat : pour $p$ premier et $a\wedge p = 1$, $a^{p-1}\equiv1\ [p]$ ; pour tout $a$, $a^p\equiv a\ [p]$. Les congruences sont compatibles avec $+$ et $\times$.

Dénombrement

Propriété — cardinaux

$|A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B|$ ; $|A\times B| = |A||B|$ ; $|\mathcal P(E)| = 2^n$ ; nombre d'applications de $E$ ($p$ éléments) dans $F$ ($n$) : $n^p$ ; d'injections : $\dfrac{n!}{(n-p)!}$ ; de bijections de $E$ : $n!$ ; de parties à $p$ éléments : $\binom np$. Binôme : $(a+b)^n = \sum\binom nka^kb^{n-k}$ ; formule de Vandermonde $\sum_k\binom ak\binom b{n-k} = \binom{a+b}n$.

Probabilités finies

Théorème — Bayes et probabilités totales

Pour un système complet $(A_i)$ : $P(B) = \sum P(A_i)P_{A_i}(B)$ et $$P_B(A_i) = \dfrac{P(A_i)P_{A_i}(B)}{\sum_jP(A_j)P_{A_j}(B)}.$$ Formule des probabilités composées : $P(A_1\cap\cdots\cap A_n) = P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}}(A_n)$.

Définition — indépendance

$A$, $B$ indépendants si $P(A\cap B) = P(A)P(B)$. Indépendance mutuelle d'une famille : pour toute sous-famille, la probabilité de l'intersection est le produit (plus fort que l'indépendance deux à deux).

Définition — variables aléatoires, lois usuelles

Loi $P(X = x)$, loi conjointe $P(X = x, Y = y)$, lois marginales. Uniforme sur $\{1,\ldots,n\}$ : $E = \dfrac{n+1}2$. Bernoulli $\mathcal B(p)$ : $E = p$, $V = p(1-p)$. Binomiale $\mathcal B(n,p)$ : $E = np$, $V = np(1-p)$.

Propriété — espérance, variance, covariance

$E(X) = \sum xP(X = x)$, linéaire ; formule de transfert $E(g(X)) = \sum g(x)P(X = x)$. $V(X) = E(X^2)-E(X)^2$, $V(aX+b) = a^2V(X)$. $\text{Cov}(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y)$ ; $V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2\text{Cov}(X,Y)$. $X$, $Y$ indépendantes $\Rightarrow E(XY) = E(X)E(Y)$ et $\text{Cov} = 0$ (réciproque fausse). Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Que dit le théorème de Gauss ?

Si $a$ divise $bc$ et $a$ est premier avec $b$, alors $a$ divise $c$.

Quel est le petit théorème de Fermat ?

Pour $p$ premier et $a$ non divisible par $p$, $a^{p-1}\equiv1\ [p]$.

Comment calculer le nombre d'injections de E dans F ?

Si $|E| = p$ et $|F| = n$ avec $p\le n$ : $\dfrac{n!}{(n-p)!}$.

Quelle est la formule de Bayes ?

$P_B(A) = \dfrac{P(A)P_A(B)}{P(B)}$, avec $P(B)$ calculée par la formule des probabilités totales.
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