Maths Sup (MPSI) — chapitre 5 sur 13
Limites et continuité des fonctions
Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes ; si elle est strictement monotone, elle réalise une bijection continue.
$f(x)\to\ell$ quand $x\to a$ : $\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x\in D,\ |x-a|\le\delta\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon$. Caractérisation séquentielle : $f(x)\to\ell$ ssi pour toute suite $x_n\to a$, $f(x_n)\to\ell$ (utile pour prouver qu'une limite n'existe pas). $f$ continue en $a$ si $f(x)\to f(a)$.
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Si $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et $f(a)f(b)<0$, alors $f$ s'annule sur $]a\,;b[$.
L'image d'un segment par une fonction continue est un segment : $f$ continue sur $[a\,;b]$ est bornée et atteint ses bornes (existence d'un maximum et d'un minimum).
Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $f(I)$, et $f^{-1}$ est continue, strictement monotone de même sens.
$f$ est uniformément continue si $\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x,y,\ |x-y|\le\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|\le\varepsilon$ ($\delta$ ne dépend pas de $x$). $f$ est $k$-lipschitzienne si $|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$ ; lipschitzienne $\Rightarrow$ uniformément continue $\Rightarrow$ continue.
Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue.