Maths Sup (MPSI) — chapitre 7 sur 13
Développements limités
Un DL remplace localement une fonction par un polynôme : c'est l'outil universel pour les limites et les équivalents.
$f$ admet un DL à l'ordre $n$ en $0$ s'il existe un polynôme $P$ de degré $\le n$ tel que $f(x) = P(x)+o(x^n)$. Il est unique ; sa partie régulière $P$ est paire (resp. impaire) si $f$ l'est. Un DL d'ordre $1$ équivaut à la dérivabilité.
$$e^x = 1+x+\dfrac{x^2}2+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n)\qquad\dfrac1{1-x} = 1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n)$$ $$\ln(1+x) = x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\cdots+(-1)^{n+1}\dfrac{x^n}n+o(x^n)\qquad(1+x)^\alpha = 1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+\cdots$$ $$\sin x = x-\dfrac{x^3}6+\dfrac{x^5}{120}+o(x^6)\qquad\cos x = 1-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}{24}+o(x^5)\qquad\tan x = x+\dfrac{x^3}3+o(x^4)$$ $$\arctan x = x-\dfrac{x^3}3+o(x^4)\qquad\text{sh}\,x = x+\dfrac{x^3}6+o(x^4)\qquad\text{ch}\,x = 1+\dfrac{x^2}2+o(x^3)$$
Somme et produit (on tronque à l'ordre voulu) ; quotient (multiplier par le DL de $\dfrac1{1+u}$) ; composition $f(u(x))$ quand $u(x)\to0$ ; intégration terme à terme (avec la constante $f(0)$) ; dérivation possible si $f$ est $\mathcal C^n$.
- Limite d'une forme indéterminée : développer numérateur et dénominateur au même ordre.
- Équivalent : le premier terme non nul du DL.
- Position par rapport à la tangente : signe du premier terme non nul après l'ordre $1$.
- Asymptote en $\pm\infty$ : DL en $\dfrac1x$ de $\dfrac{f(x)}x$.
$\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2} = \dfrac12$ car $e^x-1-x = \dfrac{x^2}2+o(x^2)$. $\ln(\cos x) = -\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^4}{12}+o(x^4)$.