Maths Sup (MPSI) — chapitre 8 sur 13

Intégration sur un segment

Q: Qu'est-ce qu'une somme de Riemann ?

1n∑_k=1^nf≤ft( kn) tend vers ∫_0^1f pour f continue : cela permet de calculer des limites de sommes.

Q: Que sont les intégrales de Wallis ?

W_n = ∫_0^π/2sin^nt dt, avec W_n+2 = (n+1)/(n+2)W_n et W_n√π2n ; elles interviennent dans la formule de Stirling.

Q: Comment changer de variable dans une intégrale ?

On pose x = (t) avec de classe C^1, on remplace dx par '(t) dt et on change les bornes.

Deux techniques à maîtriser sans hésiter : l'intégration par parties et le changement de variable.

Propriétés fondamentales

Linéarité, Chasles, positivité et croissance ; $\left|\int_a^bf\right|\le\int_a^b|f|$ ($a\le b$). Si $f$ est continue, positive et $\int_a^bf = 0$ avec $a

Théorème fondamental

Si $f$ est continue sur $I$ et $a\in I$, $F : x\mapsto\int_a^xf(t)\,dt$ est l'unique primitive de $f$ s'annulant en $a$ ; $F$ est de classe $\mathcal C^1$ et $F' = f$. Pour toute primitive $G$ : $\int_a^bf = G(b)-G(a)$.

Théorème — intégration par parties, changement de variable

$\int_a^bu'v = [uv]_a^b-\int_a^buv'$ pour $u$, $v$ de classe $\mathcal C^1$. Changement de variable : pour $\varphi$ de classe $\mathcal C^1$ sur $[\alpha\,;\beta]$ et $f$ continue, $$\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt.$$

Théorème — sommes de Riemann

Pour $f$ continue sur $[a\,;b]$ : $\dfrac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\dfrac{b-a}n\right)\xrightarrow[n\to\infty]{}\int_a^bf$. Cas usuel : $\dfrac1n\sum_{k=1}^nf\left(\dfrac kn\right)\to\int_0^1f$.

Méthode — primitives classiques

$\int\dfrac{dx}{x^2+a^2} = \dfrac1a\arctan\dfrac xa$ ; $\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x$ ; $\int\tan x\,dx = -\ln|\cos x|$ ; $\int\dfrac{dx}{x^2-1} = \dfrac12\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|$ ; fractions rationnelles : décomposition en éléments simples ; $e^{ax}\cos bx$ : passer par $\text{Re}(e^{(a+ib)x})$ ; polynômes trigonométriques : linéariser.

Exemple

Intégrales de Wallis $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^nt\,dt$ : $W_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}W_n$, $W_n\sim\sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Comment calculer une intégrale de fraction rationnelle ?

On décompose en éléments simples, puis on intègre chaque terme : $\dfrac1{x-a}\to\ln|x-a|$, $\dfrac1{x^2+1}\to\arctan x$.

Qu'est-ce qu'une somme de Riemann ?

$\dfrac1n\sum_{k=1}^nf\left(\dfrac kn\right)$ tend vers $\int_0^1f$ pour $f$ continue : cela permet de calculer des limites de sommes.

Que sont les intégrales de Wallis ?

$W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^nt\,dt$, avec $W_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2}W_n$ et $W_n\sim\sqrt{\dfrac\pi{2n}}$ ; elles interviennent dans la formule de Stirling.

Comment changer de variable dans une intégrale ?

On pose $x = \varphi(t)$ avec $\varphi$ de classe $\mathcal C^1$, on remplace $dx$ par $\varphi'(t)\,dt$ et on change les bornes.

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