∑Synthèses de cours de maths
Chapitres de Maths Sup (MPSI)
  1. Logique, ensembles et applications
  2. Nombres complexes
  3. Fonctions usuelles
  4. Suites réelles
  5. Limites et continuité des fonctions
  6. Dérivation, Rolle, accroissements finis, Taylor
  7. Développements limités
  8. Intégration sur un segment
  9. Équations différentielles linéaires
  10. Polynômes et fractions rationnelles
  11. Espaces vectoriels et dimension finie
  12. Applications linéaires et matrices
  13. Arithmétique, dénombrement et probabilités finies

Maths Sup (MPSI) — chapitre 6 sur 13

Dérivation, Rolle, accroissements finis, Taylor

Rolle ⇒ accroissements finis ⇒ Taylor : une chaîne de théorèmes qui relie les valeurs d'une fonction à ses dérivées.

Définition — dérivabilité

$f$ dérivable en $a$ si $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ a une limite finie $f'(a)$, i.e. $f(a+h) = f(a)+f'(a)h+o(h)$. Dérivable $\Rightarrow$ continue (réciproque fausse : $|x|$ en $0$). Formules : $(uv)' = u'v+uv'$, $\left(\dfrac uv\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, $(g\circ f)' = f'\cdot g'\circ f$, $(f^{-1})'(y) = \dfrac1{f'(f^{-1}(y))}$.

Théorème — Rolle

Si $f$ est continue sur $[a\,;b]$, dérivable sur $]a\,;b[$ et $f(a) = f(b)$, alors il existe $c\in]a\,;b[$ tel que $f'(c) = 0$.

Théorème — accroissements finis

Égalité : $f$ continue sur $[a\,;b]$, dérivable sur $]a\,;b[$ : $\exists c\in]a\,;b[$, $f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$. Inégalité : si $|f'|\le M$ sur $]a\,;b[$, alors $|f(b)-f(a)|\le M|b-a|$ ($f$ est $M$-lipschitzienne).

Propriété — conséquences

$f' = 0$ sur un intervalle $\iff f$ constante ; $f'\ge0\iff f$ croissante ; $f'>0$ (sauf en des points isolés) $\Rightarrow f$ strictement croissante. Théorème de la limite de la dérivée : si $f$ est continue en $a$ et $f'(x)\to\ell$ quand $x\to a$, alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = \ell$.

Définition — classe $\mathcal C^n$, Leibniz

$f$ est de classe $\mathcal C^n$ si $f^{(n)}$ existe et est continue. Formule de Leibniz : $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n\binom nk f^{(k)}g^{(n-k)}$.

Formules de Taylor

Pour $f$ de classe $\mathcal C^{n+1}$, avec $P_n(x) = \sum_{k=0}^n\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ :

  • Reste intégral : $f(x) = P_n(x)+\int_a^x\dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt$.
  • Taylor-Lagrange (inégalité) : $|f(x)-P_n(x)|\le\dfrac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}\sup|f^{(n+1)}|$.
  • Taylor-Young ($f$ de classe $\mathcal C^n$) : $f(x) = P_n(x)+o\big((x-a)^n\big)$.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Quelle est la différence entre Taylor-Lagrange et Taylor-Young ?

Taylor-Young est local ($o((x-a)^n)$), utile pour les DL et les limites. Taylor-Lagrange est global : il majore l'erreur sur tout un intervalle avec $\sup|f^{(n+1)}|$.

Que dit le théorème de Rolle ?

Si $f$ est continue sur $[a\,;b]$, dérivable sur $]a\,;b[$ et $f(a) = f(b)$, il existe $c\in]a\,;b[$ tel que $f'(c) = 0$.

Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis ?

Si $|f'|\le M$ sur un intervalle, alors $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$ ; cela sert pour les suites récurrentes contractantes et pour prouver qu'une fonction est lipschitzienne.

Qu'est-ce que la formule de Leibniz ?

$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n\binom nkf^{(k)}g^{(n-k)}$, l'analogue du binôme pour la dérivée $n$-ième d'un produit.
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