∑Synthèses de cours de maths
Chapitres de Maths Sup (MPSI)
  1. Logique, ensembles et applications
  2. Nombres complexes
  3. Fonctions usuelles
  4. Suites réelles
  5. Limites et continuité des fonctions
  6. Dérivation, Rolle, accroissements finis, Taylor
  7. Développements limités
  8. Intégration sur un segment
  9. Équations différentielles linéaires
  10. Polynômes et fractions rationnelles
  11. Espaces vectoriels et dimension finie
  12. Applications linéaires et matrices
  13. Arithmétique, dénombrement et probabilités finies

Maths Sup (MPSI) — chapitre 3 sur 13

Fonctions usuelles

Les fonctions circulaires réciproques et hyperboliques complètent le catalogue du lycée ; leurs dérivées sont à connaître par cœur.

Courbes de $\arcsin$ (rouge), $\arccos$ (vert) et $\arctan$ (bleu).
Définition — puissances réelles

Pour $x>0$ et $\alpha\in\mathbb R$ : $x^\alpha = e^{\alpha\ln x}$. $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$ ; $x^{\alpha+\beta} = x^\alpha x^\beta$, $(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}$. Croissances comparées : $\ln x\ll x^\alpha\ll e^x$ en $+\infty$ ($\alpha>0$).

Définition — arcsin, arccos, arctan

$\arcsin : [-1\,;1]\to\left[-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right]$, impaire, $\arcsin' x = \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$. $\arccos : [-1\,;1]\to[0\,;\pi]$, $\arccos' x = -\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$, $\arcsin x+\arccos x = \dfrac\pi2$. $\arctan : \mathbb R\to\left]-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right[$, impaire, $\arctan' x = \dfrac1{1+x^2}$, $\arctan x+\arctan\dfrac1x = \pm\dfrac\pi2$ selon le signe de $x$.

À retenir

$\sin(\arcsin x) = x$ toujours, mais $\arcsin(\sin x) = x$ seulement si $x\in\left[-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right]$. $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$.

Définition — fonctions hyperboliques

$\text{ch}\,x = \dfrac{e^x+e^{-x}}2$ (paire, convexe), $\text{sh}\,x = \dfrac{e^x-e^{-x}}2$ (impaire, croissante), $\text{th}\,x = \dfrac{\text{sh}\,x}{\text{ch}\,x}$ (à valeurs dans $]-1\,;1[$). $\text{ch}' = \text{sh}$, $\text{sh}' = \text{ch}$, $\text{th}' = 1-\text{th}^2 = \dfrac1{\text{ch}^2}$. Identité : $\text{ch}^2x-\text{sh}^2x = 1$.

Formules trigonométriques à connaître

$\cos(a\pm b) = \cos a\cos b\mp\sin a\sin b$, $\sin(a\pm b) = \sin a\cos b\pm\cos a\sin b$, $\cos2a = 2\cos^2a-1 = 1-2\sin^2a$, $\sin2a = 2\sin a\cos a$, $\tan(a+b) = \dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$, $\cos a\cos b = \frac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)]$, $a\cos x+b\sin x = \sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\varphi)$.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Quelle est la dérivée de arctan ?

$\arctan'x = \dfrac1{1+x^2}$ ; $\arcsin'x = \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$ et $\arccos'x = -\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$ sur $]-1\,;1[$.

Pourquoi arcsin(sin x) n'est pas toujours égal à x ?

Parce que $\arcsin$ est la réciproque de $\sin$ restreint à $\left[-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right]$ : l'égalité $\arcsin(\sin x) = x$ n'est vraie que sur cet intervalle.

Que valent ch, sh et th ?

$\text{ch}\,x = \dfrac{e^x+e^{-x}}2$, $\text{sh}\,x = \dfrac{e^x-e^{-x}}2$, $\text{th} = \dfrac{\text{sh}}{\text{ch}}$, avec $\text{ch}^2-\text{sh}^2 = 1$.

Comment définir x^α pour α réel ?

Pour $x>0$, $x^\alpha = e^{\alpha\ln x}$ ; c'est la seule façon cohérente de donner un sens à $2^{\sqrt2}$ par exemple.
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