Maths Sup (MPSI) — chapitre 11 sur 13
Espaces vectoriels et dimension finie
En dimension finie, une famille de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$ est une base dès qu'elle est libre ou génératrice.
$F\subset E$ est un sous-espace vectoriel si $0\in F$ et si $F$ est stable par combinaison linéaire : $\forall x,y\in F,\ \forall\lambda\in\mathbb K,\ \lambda x+y\in F$. Exemples : noyau et image d'une application linéaire, ensemble des solutions d'un système homogène, $\text{Vect}(x_1,\ldots,x_p)$.
$(x_1,\ldots,x_p)$ est libre si $\sum\lambda_ix_i = 0\Rightarrow$ tous les $\lambda_i$ nuls ; génératrice si $\text{Vect}(x_i) = E$ ; base si les deux (tout vecteur a des coordonnées uniques). Une famille contenant $0$ ou deux vecteurs colinéaires est liée.
Si $E$ admet une base finie, toutes ses bases ont le même cardinal, la dimension $\dim E$. Théorème de la base incomplète : toute famille libre se complète en une base ; de toute famille génératrice on peut extraire une base. En dimension $n$ : une famille libre a au plus $n$ vecteurs, une génératrice au moins $n$ ; une famille de $n$ vecteurs libre ou génératrice est une base.
$F+G = \{f+g\}$ ; la somme est directe ($F\oplus G$) si $F\cap G = \{0\}$, i.e. toute décomposition est unique. $F$ et $G$ sont supplémentaires si $F\oplus G = E$. Tout sous-espace admet des supplémentaires (non uniques).
$$\dim(F+G) = \dim F+\dim G-\dim(F\cap G).$$ $F\oplus G = E\iff F\cap G = \{0\}$ et $\dim F+\dim G = \dim E$.
Le rang d'une famille est la dimension de l'espace qu'elle engendre. Rang d'une application linéaire $u$ : $\text{rg}\,u = \dim\text{Im}\,u$.