Maths Sup (MPSI) — chapitre 9 sur 13
Équations différentielles linéaires
Solution générale = solution de l'équation homogène + une solution particulière.
$a$, $b$ continues sur $I$, $A$ primitive de $a$. Solutions de l'équation homogène : $y = Ce^{-A(x)}$. Solution particulière par variation de la constante : $y = C(x)e^{-A(x)}$ avec $C'(x) = b(x)e^{A(x)}$. Le problème de Cauchy $y(x_0) = y_0$ a une unique solution sur $I$.
Équation caractéristique $r^2+ar+b = 0$, discriminant $\Delta$ :
- $\Delta>0$, racines $r_1\ne r_2$ : $y = \lambda e^{r_1x}+\mu e^{r_2x}$ ;
- $\Delta = 0$, racine double $r$ : $y = (\lambda x+\mu)e^{rx}$ ;
- $\Delta<0$, racines $\alpha\pm i\beta$ : $y = e^{\alpha x}(\lambda\cos\beta x+\mu\sin\beta x)$.
Le problème de Cauchy ($y(x_0)$, $y'(x_0)$ donnés) a une unique solution.
On cherche une solution particulière de la forme $Q(x)e^{\lambda x}$ avec $\deg Q = \deg P$ si $\lambda$ n'est pas racine de l'équation caractéristique, $\deg Q = \deg P+1$ si racine simple, $+2$ si racine double. Second membre $\cos$ ou $\sin$ : passer par le complexe $e^{i\omega x}$ et prendre partie réelle ou imaginaire. Principe de superposition pour une somme de seconds membres.
$y''+y = \cos x$ : $i$ est racine de $r^2+1$, on cherche $z = Axe^{ix}$ pour $z''+z = e^{ix}$ : $A = \dfrac1{2i}$, d'où $y_p = \text{Re}\left(\dfrac{x}{2i}e^{ix}\right) = \dfrac x2\sin x$. Solution générale : $\lambda\cos x+\mu\sin x+\dfrac x2\sin x$.