Quatrième — chapitre 3 sur 11
Calcul littéral : développer, factoriser, réduire
La double distributivité $(a+b)(c+d)$ est l'outil central de l'année.
Propriété — distributivité
$k(a+b) = ka+kb$ et, pour deux parenthèses : $$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.$$
Exemple
$(2x+3)(x-5) = 2x^2 - 10x + 3x - 15 = 2x^2 - 7x - 15$.
Propriété — supprimer des parenthèses
Précédées d'un $+$, on les supprime sans rien changer ; précédées d'un $-$, on change le signe de chaque terme : $3x - (2x - 7) = 3x - 2x + 7 = x + 7$.
Méthode — factoriser
On repère un facteur commun et on l'écrit devant : $6x^2 + 9x = 3x(2x+3)$ ; $(x+1)(2x-3) + (x+1)(x+4) = (x+1)(3x+1)$.
Méthode — calculer la valeur d'une expression
Pour $x = -2$ : $A = 3x^2 - 5x + 1 = 3\times 4 + 10 + 1 = 23$. Attention : $x^2 = (-2)^2 = 4$.
À retenir
Vérifier un développement en testant une valeur (par exemple $x=1$) dans les deux expressions.
Questions fréquentes sur ce chapitre
Comment développer une double distributivité ?
$(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$ : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. Par exemple $(x+2)(x+3) = x^2+5x+6$.
Comment factoriser une expression ?
On repère un facteur commun à tous les termes et on le met devant : $6x+9 = 3(2x+3)$ ; $x^2+5x = x(x+5)$.
Quelle est la différence entre développer et factoriser ?
Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit. Ce sont deux opérations inverses.
Comment supprimer une parenthèse précédée d'un signe moins ?
On change le signe de chaque terme à l'intérieur : $5-(2x-3) = 5-2x+3 = 8-2x$.