Deux séries de même moyenne peuvent être très différentes : on complète par la médiane et l'étendue.
Définition — moyenne pondérée
$\bar x = \dfrac{n_1x_1 + n_2x_2+\cdots+n_kx_k}{N}$ où $N$ est l'effectif total. Avec les fréquences : $\bar x = f_1x_1 + f_2x_2 + \cdots$.
Définition — médiane
Valeur $M$ telle qu'au moins la moitié des valeurs est $\le M$ et au moins la moitié est $\ge M$. On ordonne la série ; avec $N$ impair on prend la valeur centrale, avec $N$ pair la demi-somme des deux valeurs centrales.
Définition — étendue
$\text{étendue} = \text{maximum} - \text{minimum}$ : plus elle est grande, plus la série est dispersée.
Exemple
Notes de deux élèves : Ali $10, 10, 11, 11, 18$ et Bilal $4, 12, 12, 12, 20$. Même moyenne $12$ ; médianes $11$ et $12$ ; étendues $8$ et $16$ : Bilal est plus irrégulier.
Méthode — lire un tableau d'effectifs
Pour la médiane, on cumule les effectifs jusqu'à dépasser la moitié de $N$.
Questions fréquentes sur ce chapitre
Comment calculer une moyenne pondérée ?
On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne et on divise par l'effectif total.
Comment déterminer la médiane d'une série statistique ?
On classe les valeurs par ordre croissant ; la médiane partage la série en deux groupes de même effectif.
Qu'est-ce que l'étendue d'une série ?
La différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Elle mesure la dispersion de la série.
Pourquoi la moyenne et la médiane peuvent-elles être différentes ?
Parce que la moyenne est influencée par les valeurs extrêmes alors que la médiane ne l'est pas : une seule très grande valeur augmente la moyenne sans changer la médiane.