Variable aléatoire, espérance et variance
Le gain moyen sur un très grand nombre de parties.Niveau 1re · Probabilités et statistiques
Chaque valeur pèse à proportion de sa probabilité : c'est ce que mesure l'espérance. Son interprétation est très concrète — le gain moyen par partie lorsqu'on répète l'expérience un grand nombre de fois. C'est elle qui permet de qualifier un jeu de favorable, de défavorable ou de neutre.
Un jeu neutre affiche une espérance nulle : sur la durée, le joueur ne gagne ni ne perd. Les jeux d'argent réels affichent tous une espérance négative pour le joueur, et ce chapitre permet précisément de la chiffrer. L'entraînement part de cette lecture plutôt que des formules.
Les compétences mises en jeu
- Contrôler qu'une loi est bien complète
- Obtenir la valeur moyenne d'une variable
- Mesurer la dispersion autour de cette moyenne
- Juger si un jeu est avantageux
Comment s'y prendre
- Loi complèteLes probabilités doivent totaliser exactement 1.
- Valeur moyenneOn additionne chaque valeur multipliée par sa probabilité.
- DispersionMoyenne des carrés diminuée du carré de la moyenne.
- Jeu neutreIl correspond à une valeur moyenne de gain nulle.
Les pièges dans lesquels on tombe
- Faire la moyenne des valeurs sans tenir compte de leurs probabilités.
- Retrancher la moyenne au lieu de son carré dans la dispersion.
- Accepter une dispersion négative sans s'en étonner.
Trois conseils pour progresser vite
La famille « Ce jeu est-il favorable ? » donne tout son sens à l'espérance : c'est par là qu'il faut entrer.
Contrôlez que les probabilités totalisent bien un avant d'entamer le moindre calcul.
Une dispersion reste toujours positive : ce contrôle repère les erreurs de formule.