Forme canonique et sommet de la parabole
Les coordonnées du sommet, lues directement.Niveau 1re · Algèbre
Réécrire un trinôme sous la forme a(x − α)² + β fait apparaître deux nombres qui ne sont autres que les coordonnées du sommet de la parabole. Cette écriture livre donc en une ligne l'extremum, l'axe de symétrie et le sens de variation — trois informations que la forme développée garde dissimulées.
C'est pour cette raison qu'elle intervient dans tous les problèmes d'optimisation. L'entraînement travaille séparément le calcul de chacune des deux coordonnées, puis l'écriture complète, et surtout la nature de l'extremum : un creux quand a est positif, un sommet quand il est négatif.
Les compétences mises en jeu
- Localiser l'abscisse du sommet
- Obtenir l'ordonnée correspondante
- Rédiger la forme canonique complète
- Annoncer l'extremum et préciser sa nature
Comment s'y prendre
- Abscisse du sommetElle vaut −b divisé par 2a.
- Ordonnée du sommetOn l'obtient en substituant cette abscisse dans l'expression.
- Écriture finalea multiplié par le carré de (x − abscisse), auquel on ajoute l'ordonnée.
- Nature de l'extremumUn a positif ouvre la parabole vers le haut : minimum. Négatif : maximum.
Les pièges dans lesquels on tombe
- Laisser tomber le signe moins au numérateur de l'abscisse.
- Additionner l'abscisse dans la parenthèse au lieu de la soustraire.
- Annoncer l'abscisse alors que la question portait sur la valeur de l'extremum.
Trois conseils pour progresser vite
Calculez toujours α puis β séparément avant d'écrire la forme complète.
Obtenir β en calculant f(α) est plus rapide et moins risqué que d'identifier les coefficients.
La famille « Extremum et nature » relie le chapitre aux problèmes d'optimisation, très fréquents en évaluation.