Dériver un produit et un quotient
Deux formules qui ne s'inventent pas.Niveau 1re · Analyse
La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées, et l'ordre des termes au numérateur du quotient n'est pas indifférent. Ces deux formules ne s'inventent pas : elles se mémorisent exactement, sous peine d'obtenir un résultat correct au signe près — donc un sens de variation inversé.
L'entraînement demande d'abord de restituer les formules, sans aucun calcul, puis de les appliquer à des fonctions simples. C'est la restitution qui manque le plus souvent en évaluation, bien avant l'application. Il aborde enfin la dérivée de g(ax + b), première rencontre avec la composition.
Les compétences mises en jeu
- Réciter la formule du produit sans hésitation
- Réciter celle du quotient dans le bon ordre
- Les appliquer à des expressions simples
- Traiter une composée du type g(ax + b)
Comment s'y prendre
- Produitu′v + uv′ : chaque facteur est dérivé à son tour, l'autre restant intact.
- Quotient(u′v − uv′) placé sur v² ; l'ordre au numérateur est impératif.
- Inverse seul−v′ posé sur v².
- Composée affineOn dérive l'extérieur, puis on multiplie par le coefficient intérieur.
Les pièges dans lesquels on tombe
- Dériver chaque facteur et multiplier les résultats entre eux.
- Permuter les deux termes du numérateur d'un quotient.
- Laisser tomber le coefficient intérieur dans une composée affine.
Trois conseils pour progresser vite
La famille « Quelle formule ? » entraîne la restitution pure : c'est elle qui manque le plus en évaluation.
Écrivez toujours u, v, u′ et v′ avant d'appliquer la formule.
Le terme contenant u′ vient en premier au numérateur du quotient : une inversion change le signe du résultat.