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1re

Discriminant et racines du trinôme

Le signe de delta dit tout avant même le calcul.Niveau 1re · Algèbre

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Le discriminant résume à lui seul le comportement d'un trinôme. Son signe donne le nombre de racines, sa valeur permet de les calculer, et il détermine la position de la parabole par rapport à l'axe des abscisses. Aucun autre nombre du programme de première ne concentre autant d'information.

Son calcul doit devenir immédiat, car il ouvre chacun des exercices du chapitre. L'entraînement propose des coefficients choisis pour que les racines tombent juste : l'attention doit porter sur la démarche — calculer delta, en lire le signe, conclure — et non sur l'arithmétique.

Les compétences mises en jeu

  • Évaluer rapidement b² − 4ac
  • Conclure sur le nombre de racines à partir du signe
  • Mener à bien la résolution d'un trinôme
  • Décrire le signe d'un trinôme sur ℝ

Comment s'y prendre

  1. Le nombre cléΔ se calcule par b² − 4ac, en gardant les parenthèses sur les négatifs.
  2. Trois issues possiblesΔ strictement positif : deux racines. Nul : une racine double. Négatif : aucune.
  3. La formule de résolutionx s'obtient par (−b ± √Δ) divisé par 2a.
  4. Lecture du signeLe trinôme suit le signe de a, sauf sur l'intervalle séparant les racines.

Les pièges dans lesquels on tombe

  • Perdre le carré de b ou le coefficient 4 en écrivant le discriminant.
  • Négliger le signe moins devant b au moment d'appliquer la formule.
  • Annoncer une absence de solution alors que le discriminant est nul.

Trois conseils pour progresser vite

Isolez la famille « Calculer delta » en début de chapitre : c'est le premier geste à rendre automatique.

Faites annoncer le signe du discriminant avant tout calcul de racines : la conclusion précède l'arithmétique.

Cherchez d'abord une factorisation évidente, qui dispense parfois entièrement du discriminant.

Vos questions sur cette notion

Et si le discriminant vaut exactement zéro ?
Il existe alors une racine unique, dite double, qui vaut −b/(2a). Géométriquement, la parabole effleure l'axe des abscisses en ce point sans le traverser.
Comment décrire le signe d'un trinôme ?
Il reproduit le signe de a sur tout l'axe, à l'exception de l'intervalle compris entre les deux racines quand elles existent. Sans racine, aucun changement de signe n'intervient nulle part.
Le discriminant est-il toujours nécessaire ?
Non. Quand le trinôme se factorise à vue, ou se reconnaît comme une identité remarquable, on gagne du temps à passer directement à la factorisation.

Enchaîner avec un autre entraînement 1re

Forme canonique et sommet de la paraboleLes coordonnées du sommet, lues directement. Dérivées des fonctions usuellesUn tableau court, à connaître sans réfléchir. Dériver un produit et un quotientDeux formules qui ne s'inventent pas. Équation de la tangente à une courbeUne formule, et deux calculs préalables. Suites : reconnaître le modèleOn ajoute toujours, ou on multiplie toujours. Additionner beaucoup de termes d'un coupDeux formules pour éviter mille additions.