1re

Additionner beaucoup de termes d'un coup

Deux formules pour éviter mille additions.Niveau 1re · Algèbre

Préparer sa série

Choisissez ce que vous voulez travailler, la longueur de la série et le temps accordé. L'entraînement s'ouvre en plein écran, avance tout seul, et le corrigé détaillé attend à la fin.

Ce que je veux travailler

La somme des entiers de 1 à n Combien de termes ? Une somme arithmétique Une somme de puissances de 2 Une somme géométrique La somme des entiers pairs

Longueur de la série

10 questions

Secondes accordées par question

15 s par question

Un aperçu de ce qui vous attend

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Personne n'additionne mille termes à la main. Deux formules ramènent l'opération à une ligne : l'une repose sur la moyenne du premier et du dernier terme multipliée par leur nombre, l'autre fait intervenir la raison élevée à une puissance.

L'erreur la plus coûteuse ne porte pourtant pas sur les formules mais sur le décompte : du rang zéro au rang n, il y a un terme de plus qu'on ne croit. Cet oubli fausse le résultat sans que rien ne l'indique, et l'entraînement y consacre une famille entière de questions.

Les compétences mises en jeu

Sommer les entiers consécutifs sans les additionner
Dénombrer exactement les termes d'une somme
Sommer les termes d'une progression additive
Sommer les termes d'une progression multiplicative

Comment s'y prendre

Entiers de 1 à nLe total vaut n(n + 1) divisé par 2.
Décompte des termesDu rang 0 au rang n, il y en a n + 1 et non n.
Progression additiveNombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier.
Progression multiplicative(1 − q puissance nombre de termes) divisé par (1 − q).

Les pièges dans lesquels on tombe

Compter n termes là où il y en a n + 1.
Utiliser la formule additive sur une progression multiplicative.
Placer le rang du dernier terme en exposant au lieu du nombre de termes.

Trois conseils pour progresser vite

Consacrez une séance entière à la famille « Combien de termes ? » : c'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre.

Identifiez toujours premier terme, dernier terme et nombre de termes avant d'appliquer une formule.

Dans la formule géométrique, c'est le nombre de termes qui figure en exposant, pas le rang du dernier.

Vos questions sur cette notion

Combien de termes du rang 0 au rang n ?

Exactement n + 1, puisque le rang 0 compte lui aussi. Cet oubli du terme supplémentaire est la faute la plus fréquente et la plus difficile à repérer, car le résultat reste plausible.

Comment sommer 1 + 2 + … + 100 ?

En appliquant n(n + 1)/2, soit 100 × 101 / 2, ce qui donne 5 050. L'astuce revient à apparier le premier et le dernier terme, puis le deuxième et l'avant-dernier, et ainsi de suite.

Quelle forme retenir pour la somme géométrique ?

Premier terme multiplié par (1 − q puissance nombre de termes), le tout divisé par (1 − q). Ce qui figure en exposant est le nombre de termes, jamais le rang du dernier.