PGCD et nombres premiers
Décomposer pour simplifier et pour partager.Niveau 3ème · Nombres et calculs
Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Tous les autres se décomposent en produit de facteurs premiers, et cette décomposition est unique — c'est le théorème fondamental de l'arithmétique, admis en troisième mais utilisé constamment.
Son intérêt pratique est immédiat : une fois deux nombres décomposés, leur PGCD se lit en prenant les facteurs communs. Et le PGCD sert à rendre une fraction irréductible en une seule étape, au lieu de simplifier par tâtonnements successifs. C'est l'application principale du chapitre au brevet.
Les compétences mises en jeu
- Repérer un nombre qui n'a que deux diviseurs
- Décomposer un entier en facteurs premiers
- Obtenir le plus grand diviseur commun à deux nombres
- Réduire une fraction en une seule étape
Comment s'y prendre
- Nombre premierDeux diviseurs et pas un de plus : un et lui-même.
- DécomposerOn teste successivement deux, trois, cinq, sept, onze…
- PGCDLe produit des facteurs communs, chacun au plus petit exposant.
- Fraction irréductibleLes deux termes sont partagés par leur PGCD.
Les pièges dans lesquels on tombe
- Considérer 1 comme un nombre premier.
- Oublier un facteur dans la décomposition.
- Confondre PGCD et PPCM.
Trois conseils pour progresser vite
Les critères de divisibilité accélèrent énormément la décomposition : révisez-les d'abord.
Vérifiez la décomposition en multipliant les facteurs : on doit retrouver le nombre de départ.
La famille « Problème de partage » montre à quoi sert vraiment le PGCD.