Les équations produit-nul
Un produit nul, et deux solutions au lieu d'une.Niveau 3ème · Nombres et calculs
Dès qu'un des facteurs s'annule, le produit tout entier s'annule — et réciproquement. Cette phrase, à elle seule, ramène une équation du second degré à deux équations du premier degré, que l'on sait traiter depuis la quatrième. C'est la seule porte d'entrée du collège vers les degrés supérieurs.
L'entraînement commence par des équations déjà mises en produit, afin d'isoler la propriété elle-même, puis demande de factoriser au préalable. Il insiste sur la rédaction : deux solutions doivent être annoncées, chacune sous forme exacte, en fraction réduite si nécessaire.
Les compétences mises en jeu
- Traiter une équation déjà mise en produit
- Factoriser d'abord, puis résoudre
- Rendre les deux solutions sous forme exacte
- Traiter une égalité entre carré et nombre
Comment s'y prendre
- La propriétéLe produit s'annule exactement quand l'un des facteurs s'annule.
- Deux équationsChaque facteur est égalé à zéro, puis traité séparément.
- Factoriser au besoinUne équation qui n'est pas en produit doit d'abord le devenir.
- Le cas x² = aDeux solutions opposées si a est positif, aucune s'il est négatif.
Les pièges dans lesquels on tombe
- S'arrêter à une seule solution alors qu'il en existe deux.
- Simplifier par une expression contenant l'inconnue et perdre une solution.
- Trouver deux solutions à une égalité dont le second membre est négatif.
Trois conseils pour progresser vite
Ne cochez « Factoriser puis résoudre » qu'une fois la propriété bien installée sur des équations déjà factorisées.
Exigez les deux solutions à chaque fois, même si l'une est nulle.
La famille « Combien de solutions ? » cible directement l'erreur la plus fréquente.