Les trois identités remarquables
Le double produit, celui qu'on oublie.Niveau 3ème · Nombres et calculs
Trois égalités, et une large part du programme devient mécanique. Elles ne sont rien d'autre qu'une double distributivité effectuée une bonne fois pour toutes, mais les connaître évite de refaire quatre produits à chaque question — et surtout, elles servent dans l'autre sens, pour factoriser.
Le terme qui s'évapore le plus souvent des copies est celui du milieu : le carré de x plus trois ne vaut pas x² plus neuf, mais x² plus six x plus neuf. L'entraînement y consacre plusieurs familles de questions, et propose aussi de reconnaître l'identité à employer, étape sans laquelle aucune factorisation n'est possible.
Les compétences mises en jeu
- Développer le carré d'une somme puis d'une différence
- Développer un produit somme par différence
- Choisir laquelle des trois formules convient
- Se servir des identités pour un calcul rapide
Comment s'y prendre
- Carré d'une somme(a + b)² = a² + 2ab + b².
- Carré d'une différence(a − b)² = a² − 2ab + b².
- Somme par différence(a + b)(a − b) = a² − b².
- Identifier a et bOn les nomme avant d'appliquer la formule.
Les pièges dans lesquels on tombe
- Escamoter le terme du milieu : le carré de x plus cinq ne vaut pas x² plus vingt-cinq.
- Rendre négatif le dernier terme dans le carré d'une différence, alors qu'il reste positif.
- Appliquer la troisième formule à un produit de deux sommes.
Trois conseils pour progresser vite
Exigez la phrase « a vaut ceci, b vaut cela » avant toute application de formule.
La famille « Un calcul astucieux » montre l'utilité concrète : 101 au carré se calcule de tête.
Contrôlez un développement en remplaçant x par un : les deux écritures doivent coïncider.