Maths Spé (MP) — chapitre 4 sur 10

Suites et séries de fonctions

Q: Quelle est la différence entre convergence simple et uniforme ?

Simple : f_n(x)→ f(x) pour chaque x. Uniforme : |f_n-f|→0, la vitesse ne dépend pas de x. Seule la convergence uniforme transmet la continuité.

Q: Qu'est-ce que la convergence normale ?

∑\|u_n\|_∞ converge. Elle entraîne la convergence uniforme et c'est le moyen le plus courant de la prouver pour une série de fonctions.

Q: Quand peut-on dériver terme à terme une série de fonctions ?

Si ∑ u_n converge simplement et ∑ u_n' converge uniformément (au moins localement), alors la somme est C^1 et S' = ∑ u_n'.

Q: Que dit le théorème de la double limite ?

Si f_n→ f uniformément et _x→ af_n(x) = _n, alors _x→ af(x) = _n_n : on peut échanger les deux limites.

La convergence uniforme transmet la continuité et permet d'intervertir limite et intégrale ; la convergence normale est le moyen usuel de la prouver pour les séries.

Définition — modes de convergence

$f_n\to f$ simplement sur $A$ si $f_n(x)\to f(x)$ pour tout $x$ ; uniformément si $\|f_n-f\|_\infty = \sup_A|f_n-f|\to0$. Pour une série $\sum u_n$ : convergence normale si $\sum\|u_n\|_\infty$ converge ; normale $\Rightarrow$ uniforme $\Rightarrow$ simple. Uniforme ssi $\|R_n\|_\infty\to0$.

Théorème — continuité, double limite

Si les $f_n$ sont continues et $f_n\to f$ uniformément (au moins localement), alors $f$ est continue. Double limite : si $f_n\to f$ uniformément sur $A$ et $f_n(x)\to\ell_n$ quand $x\to a$, alors $(\ell_n)$ converge et $\lim_{x\to a}f(x) = \lim\ell_n$. Version séries : continuité de la somme, interversion $\lim_{x\to a}\sum u_n(x) = \sum\lim_{x\to a}u_n(x)$.

Théorème — intégration sur un segment

Si $f_n\to f$ uniformément sur $[a,b]$ (fonctions continues), $\int_a^bf_n\to\int_a^bf$. Pour une série uniformément convergente : $\int_a^b\sum u_n = \sum\int_a^bu_n$.

Théorème — dérivation

Si les $f_n$ sont $\mathcal C^1$, $f_n\to f$ simplement et $f_n'\to g$ uniformément (localement), alors $f$ est $\mathcal C^1$ et $f' = g$. Version séries : si $\sum u_n$ converge simplement et $\sum u_n'$ converge uniformément, la somme est $\mathcal C^1$ et se dérive terme à terme. Extension à $\mathcal C^k$.

Méthode — montrer une convergence uniforme

Majorer $|f_n(x)-f(x)|$ par une suite indépendante de $x$ tendant vers $0$ ; ou étudier les variations de $f_n-f$ ; pour une série, chercher la convergence normale $\sup|u_n|\le a_n$ avec $\sum a_n$ convergente, ou utiliser le critère des séries alternées pour majorer le reste.

Exemple

$f_n(x) = x^n$ sur $[0,1]$ converge simplement vers $\mathbb 1_{\{1\}}$, non continue : pas de convergence uniforme. $\zeta(x) = \sum\dfrac1{n^x}$ est $\mathcal C^\infty$ sur $]1,+\infty[$ (convergence normale sur $[a,+\infty[$, $a>1$).

Théorème — Weierstrass

Toute fonction continue sur un segment est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Quelle est la différence entre convergence simple et uniforme ?

Simple : $f_n(x)\to f(x)$ pour chaque $x$. Uniforme : $\sup|f_n-f|\to0$, la vitesse ne dépend pas de $x$. Seule la convergence uniforme transmet la continuité.

Qu'est-ce que la convergence normale ?

$\sum\|u_n\|_\infty$ converge. Elle entraîne la convergence uniforme et c'est le moyen le plus courant de la prouver pour une série de fonctions.

Quand peut-on dériver terme à terme une série de fonctions ?

Si $\sum u_n$ converge simplement et $\sum u_n'$ converge uniformément (au moins localement), alors la somme est $\mathcal C^1$ et $S' = \sum u_n'$.

Que dit le théorème de la double limite ?

Si $f_n\to f$ uniformément et $\lim_{x\to a}f_n(x) = \ell_n$, alors $\lim_{x\to a}f(x) = \lim_n\ell_n$ : on peut échanger les deux limites.

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