Maths Spé (MP) — chapitre 2 sur 10
Espaces préhilbertiens et euclidiens
Le théorème spectral : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormée.
Forme bilinéaire symétrique définie positive $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ; $\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}$. Cauchy-Schwarz : $|\langle x,y\rangle|\le\|x\|\|y\|$ avec égalité ssi $x$, $y$ colinéaires. Inégalité triangulaire ; identité du parallélogramme ; polarisation $\langle x,y\rangle = \frac12(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2)$. Exemples : $\langle X,Y\rangle = X^TY$ sur $\mathbb R^n$, $\langle f,g\rangle = \int_a^bfg$ sur $\mathcal C([a,b])$, $\langle A,B\rangle = \text{tr}(A^TB)$.
Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. Pythagore : $x\perp y\iff\|x+y\|^2 = \|x\|^2+\|y\|^2$. Le procédé de Gram-Schmidt transforme toute famille libre $(x_i)$ en une famille orthonormale $(e_i)$ avec $\text{Vect}(e_1,\ldots,e_k) = \text{Vect}(x_1,\ldots,x_k)$. Tout espace euclidien admet une base orthonormée ; dans une telle base, $\langle x,y\rangle = \sum x_iy_i$ et $x = \sum\langle x,e_i\rangle e_i$.
Si $F$ est de dimension finie, $E = F\oplus F^\perp$ et la projection orthogonale sur $F$ est $p_F(x) = \sum_{i}\langle x,e_i\rangle e_i$ pour $(e_i)$ base orthonormée de $F$. Distance : $d(x,F) = \|x-p_F(x)\| = \min_{y\in F}\|x-y\|$ ; inégalité de Bessel $\sum\langle x,e_i\rangle^2\le\|x\|^2$.
$u$ est symétrique (autoadjoint) si $\langle u(x),y\rangle = \langle x,u(y)\rangle$ ; en base orthonormée, sa matrice est symétrique. Les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont deux à deux orthogonaux.
Tout endomorphisme symétrique d'un espace euclidien est diagonalisable dans une base orthonormée. Matriciellement : pour toute $S$ symétrique réelle, il existe $P$ orthogonale ($P^{-1} = P^T$) avec $P^TSP$ diagonale. Une matrice symétrique est positive (resp. définie positive) ssi ses valeurs propres sont $\ge0$ (resp. $>0$).
$u$ est une isométrie si $\|u(x)\| = \|x\|$ ; équivaut à conserver le produit scalaire, à envoyer une base orthonormée sur une base orthonormée, à $A^TA = I_n$. Groupe orthogonal $O(n)$, $\det = \pm1$ ; $SO(n)$ (déterminant $1$). En dimension $2$ : rotations $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ et réflexions. En dimension $3$ : toute rotation est une rotation d'axe une droite, d'angle $\theta$ avec $\text{tr} = 1+2\cos\theta$.