Maths Spé (MP) — chapitre 1 sur 10
Réduction des endomorphismes
Un endomorphisme est diagonalisable ssi il annule un polynôme scindé à racines simples, ou ssi la somme des dimensions de ses sous-espaces propres vaut $n$.
$\lambda$ est valeur propre de $u$ s'il existe $x\ne0$ avec $u(x) = \lambda x$ ; $E_\lambda = \ker(u-\lambda\,\text{id})$ est le sous-espace propre. Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe. Le spectre est fini en dimension finie.
$\chi_A(X) = \det(XI_n-A)$, unitaire de degré $n$ ; ses racines sont les valeurs propres. $\chi_A = X^n-\text{tr}(A)X^{n-1}+\cdots+(-1)^n\det A$. Pour toute valeur propre : $1\le\dim E_\lambda\le m_\lambda$ (multiplicité algébrique). Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.
$u$ est diagonalisable (il existe une base de vecteurs propres) ssi l'une des conditions équivalentes :
- $E = \bigoplus E_\lambda$, i.e. $\sum\dim E_\lambda = n$ ;
- $\chi_u$ est scindé et $\dim E_\lambda = m_\lambda$ pour toute valeur propre ;
- $u$ annule un polynôme scindé à racines simples ;
- le polynôme minimal est scindé à racines simples.
Condition suffisante : $\chi_u$ scindé à racines simples ($n$ valeurs propres distinctes).
$u$ est trigonalisable ssi $\chi_u$ est scindé. Dans $\mathbb C$, tout endomorphisme est trigonalisable. Alors $\text{tr}\,u = \sum\lambda_i$ et $\det u = \prod\lambda_i$ (avec multiplicités).
Si $P(u) = 0$, toute valeur propre est racine de $P$. Lemme des noyaux : si $P = P_1\cdots P_k$ avec les $P_i$ premiers entre eux deux à deux, $\ker P(u) = \bigoplus\ker P_i(u)$. Cayley-Hamilton : $\chi_u(u) = 0$. Le polynôme minimal $\pi_u$ divise tout annulateur et a les mêmes racines que $\chi_u$.
Puissances $A^n = PD^nP^{-1}$ ; division euclidienne de $X^n$ par un annulateur ; suites récurrentes linéaires $X_{n+1} = AX_n$ ; systèmes différentiels $X' = AX$ ; exponentielle de matrice.
$A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ : $\chi_A = X^2-1$, valeurs propres $\pm1$, diagonalisable, $A^n = I$ si $n$ pair, $A$ sinon. $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ n'est pas diagonalisable ($\dim E_1 = 1<2$).