Maths Spé (MP) — chapitre 10 sur 10
Équations différentielles linéaires et systèmes
L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène de taille $n$ est un espace vectoriel de dimension $n$ ; à coefficients constants, la solution est $e^{tA}X_0$.
Pour $A : I\to\mathcal M_n(\mathbb K)$ et $B : I\to\mathbb K^n$ continues, tout problème de Cauchy $X' = A(t)X+B(t)$, $X(t_0) = X_0$ admet une unique solution définie sur $I$ tout entier. Les solutions de l'équation homogène forment un sous-espace $S_H$ de dimension $n$ ; les solutions de l'équation complète forment un espace affine $X_p+S_H$.
Une base $(X_1,\ldots,X_n)$ de $S_H$ est un système fondamental ; le wronskien $W(t) = \det(X_1(t),\ldots,X_n(t))$ ne s'annule jamais ou est identiquement nul. Variation des constantes : $X_p = \sum c_i(t)X_i$ avec $\sum c_i'(t)X_i(t) = B(t)$.
$e^A = \sum_{k\ge0}\dfrac{A^k}{k!}$ (série normalement convergente). $e^{A+B} = e^Ae^B$ si $AB = BA$ ; $e^{PDP^{-1}} = Pe^DP^{-1}$ ; $\det e^A = e^{\text{tr}A}$ ; $t\mapsto e^{tA}$ est dérivable de dérivée $Ae^{tA}$.
Les solutions de $X' = AX$ sont les $X(t) = e^{tA}X_0$. En pratique : réduire $A$. Si $A = PDP^{-1}$ avec $D = \text{diag}(\lambda_i)$, les solutions sont $\sum c_ie^{\lambda_it}V_i$ ($V_i$ vecteurs propres). Si $A$ est trigonalisable seulement, on résout le système triangulaire de bas en haut (solutions polynômes-exponentielles).
$y''+a(t)y'+b(t)y = c(t)$ se ramène au système en $(y,y')$. Espace des solutions homogènes de dimension $2$ ; wronskien $W = y_1y_2'-y_1'y_2$ vérifiant $W' = -aW$. Si l'on connaît une solution $y_1$ ne s'annulant pas, on cherche $y = y_1z$ (abaissement de l'ordre). Variation des constantes : $y = c_1y_1+c_2y_2$ avec $c_1'y_1+c_2'y_2 = 0$ et $c_1'y_1'+c_2'y_2' = c$.
$X' = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}X$ : $e^{tA} = e^t\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}$, donc $x(t) = (x_0+y_0t)e^t$, $y(t) = y_0e^t$.