Maths Spé (MP) — chapitre 8 sur 10
Calcul différentiel
Une fonction est $\mathcal C^1$ ssi ses dérivées partielles existent et sont continues ; ses extremums intérieurs sont des points critiques.
$\partial_if(a) = \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{t\to0}\dfrac{f(a+te_i)-f(a)}t$. $f$ est différentiable en $a$ s'il existe une application linéaire $df(a)$ avec $f(a+h) = f(a)+df(a)(h)+o(\|h\|)$. Alors $f$ est continue, admet des dérivées selon tout vecteur, et $df(a)(h) = \sum h_i\partial_if(a)$. La matrice de $df(a)$ est la jacobienne ; pour $f$ à valeurs réelles, $df(a)(h) = \langle\nabla f(a),h\rangle$ avec $\nabla f(a) = (\partial_1f(a),\ldots,\partial_nf(a))$.
$f$ est $\mathcal C^1$ sur l'ouvert $U$ ssi ses dérivées partielles existent et sont continues sur $U$ ; alors $f$ est différentiable. Opérations : somme, produit, composition ($d(g\circ f)(a) = dg(f(a))\circ df(a)$, jacobiennes qui se multiplient).
Pour $\gamma : t\mapsto(x_1(t),\ldots,x_n(t))$ de classe $\mathcal C^1$ et $f$ $\mathcal C^1$ : $$(f\circ\gamma)'(t) = \sum_i\partial_if(\gamma(t))\,x_i'(t) = \langle\nabla f(\gamma(t)),\gamma'(t)\rangle.$$ Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau et indique la direction de plus grande pente. Une fonction $\mathcal C^1$ de différentielle nulle sur un ouvert connexe par arcs est constante.
$f$ est $\mathcal C^2$ si ses dérivées partielles secondes existent et sont continues. Théorème de Schwarz : alors $\dfrac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j} = \dfrac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}$. La matrice hessienne $H_f(a) = \left(\partial_{ij}f(a)\right)$ est symétrique. Formule de Taylor-Young à l'ordre 2 : $f(a+h) = f(a)+\langle\nabla f(a),h\rangle+\dfrac12h^TH_f(a)h+o(\|h\|^2)$.
Si $f$ est différentiable sur un ouvert et admet un extremum local en $a$, alors $\nabla f(a) = 0$ (point critique). Réciproque fausse (point selle). Pour $f$ $\mathcal C^2$ en un point critique : si $H_f(a)$ est définie positive, minimum local ; définie négative, maximum local ; valeurs propres de signes contraires, point selle. En dimension 2 avec $r = \partial_{xx}f$, $s = \partial_{xy}f$, $t = \partial_{yy}f$ : $rt-s^2>0$ ⇒ extremum (min si $r>0$), $rt-s^2<0$ ⇒ selle.
Une fonction continue sur un compact atteint ses bornes : on cherche les points critiques à l'intérieur, puis on étudie $f$ sur le bord (souvent paramétré).