Maths Spé (MP) — chapitre 9 sur 10
Probabilités : univers dénombrables et variables discrètes
Avec un univers infini, les probabilités deviennent des sommes de séries ; la fonction génératrice code toute la loi d'une variable à valeurs dans $\mathbb N$.
Une tribu $\mathcal A$ sur $\Omega$ contient $\Omega$, est stable par complémentaire et par réunion dénombrable. Une probabilité $P$ vérifie $P(\Omega) = 1$ et la σ-additivité : $P\left(\bigcup A_n\right) = \sum P(A_n)$ pour des $A_n$ deux à deux disjoints. Continuité monotone : si $A_n\uparrow$, $P(A_n)\to P(\bigcup A_n)$ ; si $A_n\downarrow$, $P(A_n)\to P(\bigcap A_n)$. Sous-additivité $P(\bigcup A_n)\le\sum P(A_n)$. Un événement de probabilité nulle est négligeable ; « presque sûr » = probabilité $1$.
$X : \Omega\to E$ avec $X(\Omega)$ fini ou dénombrable et $\{X = x\}\in\mathcal A$. Loi : $(P(X = x))_{x\in X(\Omega)}$, de somme $1$. Couple, lois conjointe et marginales, loi conditionnelle ; indépendance $P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)$ ; lemme des coalitions.
Géométrique $\mathcal G(p)$ sur $\mathbb N^*$ (rang du premier succès) : $P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$, $E = \dfrac1p$, $V = \dfrac{1-p}{p^2}$, seule loi sans mémoire : $P(X>n+k\mid X>n) = P(X>k)$. Poisson $\mathcal P(\lambda)$ : $P(X = k) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$, $E = V = \lambda$, limite de $\mathcal B(n,\lambda/n)$ (événements rares) ; somme de Poisson indépendantes : $\mathcal P(\lambda+\mu)$.
$E(X) = \sum xP(X = x)$ si la série converge absolument. Théorème de transfert $E(g(X)) = \sum g(x)P(X = x)$. Linéarité, positivité, croissance ; $|E(X)|\le E(|X|)$. Si $X$, $Y$ indépendantes et d'espérance finie : $E(XY) = E(X)E(Y)$. $V(X) = E(X^2)-E(X)^2$, $V(aX+b) = a^2V(X)$, $V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2\text{Cov}(X,Y)$ ; Cauchy-Schwarz $E(XY)^2\le E(X^2)E(Y^2)$.
Pour $X$ à valeurs dans $\mathbb N$ : $G_X(t) = E(t^X) = \sum P(X = n)t^n$, rayon $\ge1$, $G_X(1) = 1$. Elle caractérise la loi ; $E(X) = G_X'(1)$ (existe ssi $G_X$ dérivable en $1$) et $V(X) = G_X''(1)+G_X'(1)-G_X'(1)^2$. Si $X$, $Y$ indépendantes, $G_{X+Y} = G_XG_Y$. Bernoulli : $1-p+pt$ ; binomiale : $(1-p+pt)^n$ ; géométrique : $\dfrac{pt}{1-(1-p)t}$ ; Poisson : $e^{\lambda(t-1)}$.
Markov : $P(|X|\ge a)\le\dfrac{E(|X|)}a$. Bienaymé-Tchebychev : $P(|X-E(X)|\ge\varepsilon)\le\dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$. Pour $(X_n)$ indépendantes de même loi, d'espérance $m$ et de variance $\sigma^2$, avec $\bar X_n = \dfrac{X_1+\cdots+X_n}n$ : $$\forall\varepsilon>0,\quad P\big(|\bar X_n-m|\ge\varepsilon\big)\le\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.$$