Maths Spé (MP) — chapitre 7 sur 10
Espaces vectoriels normés et topologie
En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, les compacts sont les fermés bornés et les applications linéaires sont continues.
$N : E\to\mathbb R_+$ avec $N(x) = 0\iff x = 0$, $N(\lambda x) = |\lambda|N(x)$, $N(x+y)\le N(x)+N(y)$. Normes usuelles sur $\mathbb K^n$ : $\|x\|_1 = \sum|x_i|$, $\|x\|_2 = \sqrt{\sum|x_i|^2}$, $\|x\|_\infty = \max|x_i|$ ; sur les fonctions : $\|f\|_\infty$, $\|f\|_1 = \int|f|$, $\|f\|_2$. Deux normes sont équivalentes s'il existe $\alpha,\beta>0$ avec $\alpha N\le N'\le\beta N$.
Toutes les normes sont équivalentes ; une suite converge ssi ses coordonnées convergent ; les parties compactes sont les fermés bornés ; toute application linéaire (ou multilinéaire) est continue ; tout sous-espace est fermé ; l'espace est complet.
Ouvert : voisinage de chacun de ses points (réunion de boules ouvertes) ; fermé : complémentaire d'un ouvert, ou caractérisation séquentielle : toute suite convergente de $F$ a sa limite dans $F$. Intérieur $\mathring A$ (plus grand ouvert inclus), adhérence $\bar A$ (plus petit fermé contenant ; $x\in\bar A$ ssi limite d'une suite de $A$), frontière $\bar A\setminus\mathring A$. Images réciproques d'ouverts (fermés) par une application continue : ouverts (fermés).
$K$ est compact si toute suite de $K$ admet une sous-suite convergeant dans $K$ (Bolzano-Weierstrass). Un compact est fermé borné ; un fermé dans un compact est compact ; un produit de compacts est compact. L'image d'un compact par une application continue est compacte : une fonction continue sur un compact à valeurs réelles est bornée et atteint ses bornes ; théorème de Heine.
$u\in\mathcal L(E,F)$ est continue ssi elle est bornée sur la boule unité, ssi $\exists C$, $\|u(x)\|\le C\|x\|$ ; norme subordonnée $\|u\| = \sup_{\|x\|\le1}\|u(x)\|$, sous-multiplicative. Applications lipschitziennes.
$A$ est connexe par arcs si deux points quelconques sont reliés par un chemin continu dans $A$. Les convexes le sont ; l'image continue d'un connexe par arcs l'est ; les connexes par arcs de $\mathbb R$ sont les intervalles (généralisation du TVI).