Maths Spé (MP) — chapitre 3 sur 10
Séries numériques
Pour une série à termes positifs, tout se ramène à une comparaison avec une série de référence (géométrique, Riemann).
La série $\sum u_n$ converge si la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^nu_k$ converge ; sa somme est $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n$ et son reste $R_n = S-S_n\to0$. Condition nécessaire : $u_n\to0$ (sinon divergence grossière). Lien suite-série : $(u_n)$ converge ssi $\sum(u_{n+1}-u_n)$ converge.
Géométrique : $\sum q^n$ converge ssi $|q|<1$, somme $\dfrac1{1-q}$. Riemann : $\sum\dfrac1{n^\alpha}$ converge ssi $\alpha>1$. Bertrand : $\sum\dfrac1{n^\alpha\ln^\beta n}$ converge ssi $\alpha>1$ ou ($\alpha = 1$ et $\beta>1$). Exponentielle : $\sum\dfrac{x^n}{n!} = e^x$.
Convergence ssi les sommes partielles sont majorées. Si $0\le u_n\le v_n$ et $\sum v_n$ converge, $\sum u_n$ converge. Si $u_n\sim v_n$ (ou $u_n = O(v_n)$), $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature. Règle de d'Alembert : si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\to\ell$, convergence si $\ell<1$, divergence si $\ell>1$. Règle $n^\alpha u_n\to0$ avec $\alpha>1$ ⇒ convergence.
$\sum|u_n|$ converge $\Rightarrow\sum u_n$ converge (réciproque fausse : $\sum\dfrac{(-1)^n}n$). Critère spécial des séries alternées : si $(a_n)$ décroît vers $0$, $\sum(-1)^na_n$ converge, son reste est majoré par $|a_{n+1}|$ et du signe du premier terme négligé.
Pour $f$ continue par morceaux, positive, décroissante sur $[n_0,+\infty[$ : $\sum f(n)$ et $\int^{+\infty}f$ sont de même nature, et $\int_{n}^{n+1}f\le f(n)\le\int_{n-1}^nf$ (encadrement des sommes partielles et des restes). Exemples : $\sum_{k=1}^n\dfrac1k = \ln n+\gamma+o(1)$ ; $\sum_{k>n}\dfrac1{k^2}\sim\dfrac1n$.
Si $u_n\sim v_n>0$ : en cas de convergence les restes sont équivalents, en cas de divergence les sommes partielles le sont. Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes : $\sum w_n$ avec $w_n = \sum_{k=0}^nu_kv_{n-k}$ converge absolument et $\sum w_n = \left(\sum u_n\right)\left(\sum v_n\right)$. Stirling : $n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac ne\right)^n$.