Maths Spé (MP) — chapitre 6 sur 10

Intégration sur un intervalle quelconque et intégrales à paramètre

Q: Que dit le théorème de convergence dominée ?

Si f_n→ f simplement et |f_n|≤ intégrable indépendante de n, alors ∫ f_n→∫ f.

Q: Comment montrer qu'une intégrale impropre converge ?

Par comparaison avec les intégrales de référence (∫(dt)/(t^), ∫ e^- tdt), par équivalent en la borne singulière, ou en montrant la convergence absolue.

Q: Comment dériver sous le signe intégral ?

Il faut que ( f)/( x) existe, soit continue en x, continue par morceaux en t, et dominée par une fonction intégrable ; alors F'(x) = ∫( f)/( x)(x,t) dt.

Q: Qu'est-ce que la fonction Gamma ?

(x) = ∫_0^+∞t^x-1e^-t dt pour x>0, avec (x+1) = x(x) et (n+1) = n!.

Le théorème de convergence dominée et ses corollaires (continuité, dérivation sous l'intégrale) sont les outils centraux du programme d'analyse de MP.

Définition — intégrale généralisée

Pour $f$ continue par morceaux sur $[a,b[$ : $\int_a^bf$ converge si $\lim_{x\to b}\int_a^xf$ existe. Convergence absolue ($\int|f|<\infty$, $f$ dite intégrable) $\Rightarrow$ convergence. Intégrales de référence : $\int_1^{+\infty}\dfrac{dt}{t^\alpha}$ converge ssi $\alpha>1$ ; $\int_0^1\dfrac{dt}{t^\alpha}$ converge ssi $\alpha<1$ ; $\int_0^{+\infty}e^{-\lambda t}dt$ converge ssi $\lambda>0$ ; $\int_0^1\ln t\,dt$ converge.

Théorème — comparaison (fonctions positives)

Si $0\le f\le g$ et $g$ intégrable, alors $f$ intégrable. Si $f\sim g$ en $b$ (positives), même nature. Si $f = O(g)$, $g$ intégrable ⇒ $f$ intégrable. Attention : $f$ intégrable sur $[a,+\infty[$ n'implique pas $f\to0$.

Théorème — convergence dominée

Si $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$ (fonctions continues par morceaux) et s'il existe $\varphi$ intégrable sur $I$ avec $|f_n|\le\varphi$ pour tout $n$ (hypothèse de domination), alors $f$ est intégrable et $$\int_If_n\xrightarrow[n\to\infty]{}\int_If.$$

Théorème — intégration terme à terme

Si $\sum u_n$ converge simplement vers $S$ (fonctions intégrables sur $I$) et si $\sum\int_I|u_n|<+\infty$, alors $S$ est intégrable et $\int_IS = \sum\int_Iu_n$.

Théorème — intégrales à paramètre $F(x) = \int_If(x,t)\,dt$

Continuité : si $f$ est continue en $x$, continue par morceaux en $t$, et dominée $|f(x,t)|\le\varphi(t)$ intégrable (domination locale possible), alors $F$ est continue. Dérivation : si de plus $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ existe, est continue en $x$, continue par morceaux en $t$ et dominée, alors $F$ est $\mathcal C^1$ et $F'(x) = \int_I\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt$.

Exemple

Fonction Gamma : $\Gamma(x) = \int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt$ définie et $\mathcal C^\infty$ sur $]0,+\infty[$, $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$, $\Gamma(n+1) = n!$, $\Gamma\left(\frac12\right) = \sqrt\pi$. Intégrale de Gauss : $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}dt = \sqrt\pi$.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Que dit le théorème de convergence dominée ?

Si $f_n\to f$ simplement et $|f_n|\le\varphi$ intégrable indépendante de $n$, alors $\int f_n\to\int f$.

Comment montrer qu'une intégrale impropre converge ?

Par comparaison avec les intégrales de référence ($\int\dfrac{dt}{t^\alpha}$, $\int e^{-\lambda t}dt$), par équivalent en la borne singulière, ou en montrant la convergence absolue.

Comment dériver sous le signe intégral ?

Il faut que $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ existe, soit continue en $x$, continue par morceaux en $t$, et dominée par une fonction intégrable ; alors $F'(x) = \int\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt$.

Qu'est-ce que la fonction Gamma ?

$\Gamma(x) = \int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt$ pour $x>0$, avec $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ et $\Gamma(n+1) = n!$.

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