Maths Spé (MP) — chapitre 5 sur 10
Séries entières
Sur le disque ouvert de convergence, la somme d'une série entière est $\mathcal C^\infty$ et se dérive terme à terme.
Pour $\sum a_nz^n$, $R = \sup\{r\ge0,\ (a_nr^n)\text{ bornée}\}\in[0,+\infty]$. Lemme d'Abel : si $|z|
Règle de d'Alembert : si $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to\ell$, alors $R = \dfrac1\ell$. Comparaison : $|a_n|\le|b_n|\Rightarrow R_a\ge R_b$ ; $a_n\sim b_n\Rightarrow R_a = R_b$. Les séries $\sum a_nz^n$, $\sum na_nz^n$, $\sum\dfrac{a_n}{n+1}z^{n+1}$ ont le même rayon.
Somme : $R\ge\min(R_a,R_b)$ (égalité si $R_a\ne R_b$). Produit de Cauchy : $R\ge\min(R_a,R_b)$ et la somme est le produit des sommes.
Sur $]-R,R[$, $f(x) = \sum a_nx^n$ est de classe $\mathcal C^\infty$, $f'(x) = \sum na_nx^{n-1}$, $\int_0^xf = \sum\dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}$, et $a_n = \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$ (unicité des coefficients). Sur le disque ouvert complexe, la somme est continue.
$f$ est DSE en $0$ s'il existe $r>0$ et $(a_n)$ avec $f(x) = \sum a_nx^n$ sur $]-r,r[$ ; alors $f$ est $\mathcal C^\infty$ et la série est sa série de Taylor (mais une fonction $\mathcal C^\infty$ n'est pas toujours DSE : $e^{-1/x^2}$).
$$e^x = \sum\dfrac{x^n}{n!}\ (R = \infty)\qquad\dfrac1{1-x} = \sum x^n\ (R = 1)\qquad\ln(1+x) = \sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n+1}x^n}n\ (R = 1)$$ $$\cos x = \sum\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\qquad\sin x = \sum\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\qquad\arctan x = \sum\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}\ (R = 1)$$ $$(1+x)^\alpha = 1+\sum_{n\ge1}\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n\ (R = 1)$$
Chercher une solution $\sum a_nx^n$, injecter dans l'équation, identifier les coefficients (relation de récurrence), déterminer le rayon, puis conclure par unicité du problème de Cauchy.