Cinquième — chapitre 6 sur 10

Triangles : construction, angles, inégalité triangulaire

Q: Qu'est-ce que l'inégalité triangulaire ?

Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des deux autres : AB≤ AC+CB. Un triangle de côtés 3, 4 et 9 n'existe pas car 3+4<9.

Q: Combien vaut la somme des angles d'un triangle ?

Toujours 180°. On l'utilise pour calculer un troisième angle connaissant les deux autres.

Q: Quels sont les angles d'un triangle équilatéral ?

Les trois angles mesurent 60°. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux.

Q: Comment savoir si trois points sont alignés avec l'inégalité triangulaire ?

Si AB+BC = AC, alors B appartient au segment [AC] : les trois points sont alignés.

Deux résultats à connaître : la somme des angles vaut $180^\circ$ et un côté est toujours plus court que la somme des deux autres.

Déplace les sommets : la somme des trois angles reste $180^\circ$ et le cercle circonscrit passe toujours par $A$, $B$ et $C$.

Théorème — somme des angles

Dans tout triangle $ABC$ : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.

Conséquences : un triangle rectangle a deux angles aigus complémentaires (somme $90^\circ$) ; un triangle équilatéral a trois angles de $60^\circ$ ; dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux.

Inégalité triangulaire

Dans un triangle $ABC$ : $AB \le AC + CB$. L'égalité $AB = AC + CB$ a lieu si et seulement si $C$ appartient au segment $[AB]$.

Méthode — un triangle est-il constructible ?

Il suffit de vérifier que le plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres. $3$, $5$, $9$ : $9 > 3+5$, pas constructible. $4$, $6$, $8$ : $8 < 10$, constructible.

Droites remarquables

Définition — hauteur

Une hauteur est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs sont concourantes en l'orthocentre.

Définition — médiatrices

Les trois médiatrices des côtés se coupent en un point $O$ équidistant des trois sommets : c'est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Qu'est-ce que l'inégalité triangulaire ?

Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des deux autres : $AB\le AC+CB$. Un triangle de côtés $3$, $4$ et $9$ n'existe pas car $3+4<9$.

Combien vaut la somme des angles d'un triangle ?

Toujours $180°$. On l'utilise pour calculer un troisième angle connaissant les deux autres.

Quels sont les angles d'un triangle équilatéral ?

Les trois angles mesurent $60°$. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux.

Comment savoir si trois points sont alignés avec l'inégalité triangulaire ?

Si $AB+BC = AC$, alors $B$ appartient au segment $[AC]$ : les trois points sont alignés.

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