Cinquième — chapitre 8 sur 10
Parallélogrammes
Le parallélogramme est le quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu : c'est la propriété la plus utile pour les démonstrations.
Définition — parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Son centre est le point d'intersection des diagonales : c'est un centre de symétrie.
Propriétés
Dans un parallélogramme :
- les côtés opposés sont de même longueur ;
- les angles opposés sont de même mesure et deux angles consécutifs sont supplémentaires (somme $180^\circ$) ;
- les diagonales se coupent en leur milieu.
Théorème — réciproques (reconnaître un parallélogramme)
Un quadrilatère (non croisé) est un parallélogramme dès que l'une des conditions suivantes est vérifiée :
- ses diagonales se coupent en leur milieu ;
- ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
- deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur ;
- il possède un centre de symétrie.
Propriété — parallélogrammes particuliers
- Parallélogramme avec un angle droit, ou avec des diagonales de même longueur ⇒ rectangle.
- Parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux, ou des diagonales perpendiculaires ⇒ losange.
- À la fois rectangle et losange ⇒ carré.
Questions fréquentes sur ce chapitre
Qu'est-ce qu'un parallélogramme ?
Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Ses diagonales se coupent en leur milieu et ses côtés opposés ont la même longueur.
Comment prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme ?
Il suffit de montrer que ses diagonales se coupent en leur milieu, ou que ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, ou que deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Comment prouver qu'un parallélogramme est un rectangle ?
S'il a un angle droit, ou si ses diagonales ont la même longueur. Pour un losange : deux côtés consécutifs égaux, ou des diagonales perpendiculaires.
Comment calculer l'aire d'un parallélogramme ?
Aire $= \text{base}\times\text{hauteur}$, la hauteur étant perpendiculaire à la base.