Cinquième — chapitre 3 sur 10

Calcul littéral : expressions et distributivité

Q: Comment développer avec la distributivité ?

k(a+b) = ka+kb et k(a-b) = ka-kb : on multiplie chaque terme de la parenthèse par le facteur. Par exemple 3(x+4) = 3x+12.

Q: Comment réduire une expression littérale ?

On regroupe les termes de même nature : 3x+5+2x-1 = 5x+4. On ne peut pas additionner 3x et 5.

Q: Quand peut-on supprimer le signe × ?

Devant une lettre ou une parenthèse : 3× x = 3x, a× b = ab, 2×(x+1) = 2(x+1). On ne le supprime pas entre deux nombres.

Une lettre représente un nombre inconnu ou quelconque : les règles de calcul restent les mêmes qu'avec des nombres.

Définition — expression littérale

Une expression littérale contient une ou plusieurs lettres. Conventions : on supprime le signe $\times$ devant une lettre ou une parenthèse : $3\times x = 3x$, $a\times b = ab$, $2\times(x+1) = 2(x+1)$, $x\times x = x^2$.

Méthode — réduire

On regroupe les termes de même nature : $3x + 5 + 2x - 1 = 5x + 4$. On ne peut pas additionner $3x$ et $4$ ; $x + x = 2x$ mais $x\times x = x^2$.

Propriété — distributivité

Pour tous nombres $k$, $a$, $b$ : $$k(a+b) = ka + kb \qquad k(a-b) = ka - kb.$$ De gauche à droite on développe, de droite à gauche on factorise.

Exemple

Développer : $4(2x - 3) = 8x - 12$. Factoriser : $6x + 15 = 3(2x + 5)$.

Méthode — tester une égalité

Pour savoir si $2x + 3 = 11$ est vraie pour $x = 4$, on remplace : $2\times 4 + 3 = 11$ : l'égalité est vraie pour $x=4$ ; pour $x=5$ elle est fausse.

Méthode — calcul mental

$102\times 7 = (100+2)\times 7 = 700 + 14 = 714$ ; $98\times 5 = (100-2)\times 5 = 490$.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Qu'est-ce qu'une expression littérale ?

C'est une expression qui contient des lettres représentant des nombres inconnus ou variables, comme $3x+2$ ou $2(a+b)$. On peut la simplifier, la développer ou en calculer la valeur.

Comment développer avec la distributivité ?

$k(a+b) = ka+kb$ et $k(a-b) = ka-kb$ : on multiplie chaque terme de la parenthèse par le facteur. Par exemple $3(x+4) = 3x+12$.

Comment réduire une expression littérale ?

On regroupe les termes de même nature : $3x+5+2x-1 = 5x+4$. On ne peut pas additionner $3x$ et $5$.

Quand peut-on supprimer le signe × ?

Devant une lettre ou une parenthèse : $3\times x = 3x$, $a\times b = ab$, $2\times(x+1) = 2(x+1)$. On ne le supprime pas entre deux nombres.

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