Équations et inéquations exponentielles
Le logarithme ne change pas le sens d'une inégalité.Niveau Tale · Analyse
Deux propriétés règlent presque tout le chapitre : l'exponentielle est strictement croissante et strictement positive. La croissance permet de passer au logarithme sans inverser le sens d'une inégalité. La positivité permet d'ignorer un facteur exponentiel dans une étude de signe, ce qui simplifie considérablement les tableaux.
L'entraînement travaille aussi l'injectivité — deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants le sont — qui autorise à simplifier une équation sans passer explicitement par le logarithme. Il aborde enfin le changement de variable, technique classique pour les équations du type e^(2x) − 3e^x + 2 = 0.
Les compétences mises en jeu
- Traiter une égalité contenant des exponentielles
- Traiter une inégalité sans erreur de sens
- Exploiter la positivité dans un tableau de signes
- Ramener une équation à un trinôme
Comment s'y prendre
- Égalité d'exposantse^a = e^b force a = b : l'exponentielle ne prend jamais deux fois la même valeur.
- Détour par le logarithmee^x = k se résout en x = ln k, à condition que k soit strictement positif.
- Le sens ne bouge pasLa croissance de l'exponentielle préserve l'ordre : l'inégalité garde son sens.
- Un facteur sans influenceToujours strictement positive, l'exponentielle ne modifie jamais un signe.
Les pièges dans lesquels on tombe
- Retourner une inégalité au moment de passer au logarithme.
- Poursuivre un calcul alors que le second membre est négatif ou nul.
- Consacrer une ligne du tableau de signes à un facteur exponentiel.
Trois conseils pour progresser vite
La famille « Signe d'un produit » économise un temps considérable en étude de fonctions.
Vérifiez la stricte positivité du second membre avant de passer au logarithme.
Le changement de variable X = e^x transforme l'équation en trinôme : reconnaissez-le vite.