Dériver une fonction composée
Le facteur u′ que tout le monde oublie.Niveau Tale · Analyse
La terminale ajoute une seule formule à celles de première, mais elle s'applique partout : celle de la composée. Dériver e^u, ln u ou uⁿ revient toujours à dériver la fonction extérieure, puis à multiplier par u′. Ce facteur u′ est précisément ce que les copies oublient le plus souvent.
L'entraînement travaille ces dérivations sur des fonctions u affines ou polynomiales simples, afin que la difficulté porte sur la structure de la formule et non sur le calcul de u′. Il aborde aussi la dérivée seconde, indispensable pour l'étude de la convexité.
Les compétences mises en jeu
- Dériver une exponentielle et un logarithme composés
- Traiter une puissance et une racine de u
- Ne jamais omettre le facteur intérieur
- Obtenir la dérivée seconde d'une fonction simple
Comment s'y prendre
- Exponentielle emboîtée(e^u)′ = u′ e^u : on recopie l'exponentielle et on multiplie par u′.
- Logarithme emboîté(ln u)′ = u′ / u : le numérateur est la dérivée de l'intérieur.
- Puissance emboîtée(uⁿ)′ = n u′ uⁿ⁻¹.
- Racine emboîtée(√u)′ = u′ / (2√u).
Les pièges dans lesquels on tombe
- Recopier la formule sans y joindre la dérivée de l'expression intérieure.
- Réduire la dérivée d'un logarithme composé à 1/u.
- Prendre le carré de la dérivée pour la dérivée seconde.
Trois conseils pour progresser vite
Identifiez u et u′ à l'écrit avant d'appliquer la moindre formule.
L'oubli de u′ est l'erreur numéro un du chapitre : faites-la nommer explicitement.
Enchaînez avec la convexité : la dérivée seconde y est l'outil central.