Convergence des suites et récurrence
Croissante et majorée, donc convergente — mais pas vers le majorant.Niveau Tale · Analyse
Deux théorèmes suffisent à traiter presque toutes les questions du programme. Une suite qui monte sans franchir un plafond finit par converger ; une suite géométrique converge dès que le module de sa raison reste sous un. Tout le travail consiste ensuite à reconnaître le bon théorème et à rédiger correctement.
Une confusion mérite d'être signalée : la limite n'est pas le plafond. Le théorème affirme qu'une limite existe, sans rien dire de sa valeur, qui peut être très inférieure au majorant choisi. L'entraînement travaille aussi la structure du raisonnement par récurrence, dont l'amorce oubliée constitue la faute la plus sanctionnée.
Les compétences mises en jeu
- Décider si une suite monte ou descend
- Conclure sur une suite géométrique
- Nommer le théorème qui justifie la conclusion
- Construire une démonstration par récurrence
Comment s'y prendre
- Comparer deux termes consécutifsLe signe de uₙ₊₁ − uₙ donne le sens de variation.
- Monotone et bornéeUne suite qui monte sans dépasser un plafond finit par converger.
- Raison de module inférieur à 1La suite géométrique s'écrase alors vers 0.
- Trois étapes obligatoiresAmorcer, transmettre d'un rang au suivant, conclure.
Les pièges dans lesquels on tombe
- Passer directement à l'hérédité sans avoir vérifié le premier rang.
- Confondre le plafond qui borne la suite et la valeur vers laquelle elle tend.
- Traiter une raison négative comme une raison positive.
Trois conseils pour progresser vite
La famille « Quel théorème invoquer ? » fait travailler la justification, qui est précisément ce que le correcteur lit.
Rappelez que le plafond n'est pas la limite : c'est une maladresse de rédaction très fréquente.
Sauter l'amorce ruine la démonstration entière, même lorsque la transmission est impeccable.