Cinq fonctions à connaître par cœur avec leur courbe et leur tableau de variations.
Compare les courbes de $x^2$ (vert), $\sqrt x$ (rouge), $x$ (gris) et $1/x$ (bleu).
Propriété — fonction carré $x\mapsto x^2$
Définie sur $\mathbb R$, paire, décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$, minimum $0$ en $0$. Courbe : parabole. Pour $0\le ab^2$.
Propriété — fonction inverse $x\mapsto \dfrac1x$
Définie sur $\mathbb R^*$, impaire, décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ (pas sur $\mathbb R^*$ tout entier). Courbe : hyperbole.
Propriété — fonction racine carrée $x\mapsto\sqrt x$
Définie sur $[0\,;+\infty[$, croissante. Pour $0\le a
Propriété — fonction cube $x\mapsto x^3$
Définie sur $\mathbb R$, impaire, croissante sur $\mathbb R$.
Propriété — comparaison
Sur $[0\,;1]$ : $x^2\le x\le\sqrt x$. Sur $[1\,;+\infty[$ : $\sqrt x\le x\le x^2$. Les courbes se croisent en $0$ et en $1$.
Méthode — résoudre $x^2 = a$ et $x^2\le a$
Pour $a>0$ : $x^2 = a\iff x = \pm\sqrt a$ ; $x^2\le a\iff -\sqrt a\le x\le\sqrt a$ ; $x^2\ge a\iff x\le-\sqrt a$ ou $x\ge\sqrt a$.
Questions fréquentes sur ce chapitre
Quelles sont les fonctions de référence en seconde ?
Les fonctions affines, carré $x\mapsto x^2$, inverse $x\mapsto\dfrac1x$, racine carrée $x\mapsto\sqrt x$ et cube $x\mapsto x^3$.
Quelles sont les variations de la fonction carré ?
Décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$, avec un minimum $0$ en $0$. Sa courbe est une parabole.
Comment comparer deux nombres avec la fonction inverse ?
Sur $]0\,;+\infty[$ et sur $]-\infty\,;0[$, la fonction inverse est décroissante : si $0\dfrac1b$.