Une fonction se lit à trois niveaux : expression, courbe et tableau de variations.
La courbe de $f(x) = x^3 - 3x$ : déplace la droite horizontale $y = k$ pour compter les solutions de $f(x)=k$.
Définition — fonction, ensemble de définition
Une fonction $f$ définie sur $D\subset\mathbb R$ associe à tout $x\in D$ un unique réel $f(x)$. L'ensemble de définition est l'ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ existe : $x\mapsto\dfrac{1}{x-2}$ est définie sur $\mathbb R\setminus\{2\}$ ; $x\mapsto\sqrt{x-1}$ sur $[1\,;+\infty[$.
Définition — variations
$f$ est croissante sur $I$ si pour tous $a\le b$ de $I$, $f(a)\le f(b)$ (elle conserve l'ordre) ; décroissante si $f(a)\ge f(b)$ (elle renverse l'ordre). Le tableau de variations résume ces informations avec des flèches.
Définition — extremums
$f$ admet un maximum $M$ en $x_0$ sur $I$ si $f(x)\le f(x_0) = M$ pour tout $x\in I$. Définition analogue pour le minimum.
Définition — parité
$f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées), impaire si $f(-x) = -f(x)$ (symétrie par rapport à l'origine). $x^2$ est paire, $x^3$ est impaire.
Méthode — résolution graphique
$f(x) = k$ : abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite $y = k$. $f(x)\le g(x)$ : abscisses où la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$.
Questions fréquentes sur ce chapitre
Qu'est-ce que l'ensemble de définition d'une fonction ?
L'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe : on exclut les valeurs qui annulent un dénominateur ou rendent négatif ce qui est sous une racine carrée.
Comment lire un tableau de variations ?
Les flèches indiquent si la fonction croît ou décroît sur chaque intervalle ; les valeurs aux extrémités des flèches sont les extremums.
Comment résoudre graphiquement f(x) = k ?
On trace la droite horizontale $y = k$ et on lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe.
Comment démontrer qu'une fonction est paire ou impaire ?
Paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ; impaire si $f(-x) = -f(x)$ (symétrie par rapport à l'origine).