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I. La translation
Définition
Définition :
Lorsque l’on fait glisser la figure sans la faire tourner, de manière à ce que A arrive en B,elle se superpose avec la figure .
On dit que la figure est l’image de la figure par la translation qui transforme A en B.
2. Image d’un point et d’un segment
Propriété n° 1 :
L’image du point M, par la translation qui transforme A en B, est le point M’ tel queles segments [MB] et [AM’] ont le même milieu.
Si les points ne sont pas alignés alors ABM’M est un parallélogramme.
Propriété n° 2 :
L’image d’un segment par une translation est un segment qui lui est parallèle et de même longueur.
Exemple :
Dans la translation qui transforme A en B, le segment [MN] a pour image le segment [M’N’].
Donc les segments [MN] et [M’N’] sont parallèles et de même longueur.
II. La rotation
Définition
Définition :
Lorsque l’on fait tourner la figure autour du point O, d’un angle de mesure , dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, elle se superpose avec la figure .On dit que la figure est l’image de la figure par la rotation de centre O et d’angle .
Remarque :
Dans tout ce chapitre, le sens de rotation sera toujours le sens trigonométrique (sens contraire du déplacement des aiguilles d’une montre).
La rotation de centre O et d’angle 180° est la symétrie centrale de centre O.
2. Image d’un point
Propriété :
On considère O et M deux points distincts.
L’image du point M par la rotation de centre O et d’angle est le point M’ tel que :
et .
III. Les propriétés de la translation et de la rotation
Propriété :
La translation et la rotation conservent les longueurs, l’alignement, les aires, les milieux et les mesures d’angle.
Exemple :
Le quadrilatère A’B’C’D’ est l’image de ABCD par la rotation de centre O et d’angle 60°.
Le quadrilatère est l’image de ABCD par la translation qui transforme en .
Les aires et les périmètres des trois quadrilatères sont égaux..
Les points A,B,K sont alignés donc leurs images sont également alignées.
Le point J est le milieu du segment [BC] donc son image J’ par la rotation est le milieu du segment [B’C’].
L’angle est l’image de l’angle par la translation, ils ont donc la même mesure.
L’angle est l’image de l’angle par la translation, ils ont donc la même mesure.
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I. S’APPROPRIER LE SENS DE LA LOCUTION : « Si … alors … »
En mathématiques, pour savoir si une proposition est vraie ou fausse, on utilise certaines règles.
Une proposition mathématique est soit vraie, soit fausse.
Donner des exemples qui vérifient une proposition donnée ne suffit pas à prouver que cette proposition est vraie.
Donner un exemple qui ne vérifie pas une proposition donnée suffit à prouver que cette proposition est fausse. Cet exemple est appelé « contre-exemple »
Dans le domaine géométrique, une constatation ou des mesures sur un dessin ne suffisent pas à prouver qu’une proposition est vraie.
II. Consignes de travail
Je vous propose ci-dessous 7 propositions mathématiques écrites à partir de la locution « Si…alors… ».
Je vous demande ,premièrement, de prendre position individuellement sur chacune des propositions ( dire si la proposition est vraie ou fausse) puis, d’en débattre au sein du groupe pour éventuellement adopter une position commune. Et, lorsque cela est signalé, d’énoncer la proposition réciproque et de valider ou non cette proposition.
Quels que soient les points A, B et I, si AI = IB alors le point I est milieu du segment [AB] (étude
de la réciproque).
Quelles que soient les droites D et D’, si D est perpendiculaire à D’ alors les droites D et D’ se coupent en un point (étude de la réciproque).
Quel que soit le nombre décimal relatif, si ce nombre est inférieur à 3 alors il est inférieur à 9.
Quels que soient les points A, B et I, si les points A, I et B sont alignés alors I est un point du segment [AB] (étude de réciproque).
Quels que soient les nombres entiers, si la somme de deux nombres est paire alors ces deux nombres sont pairs.
Quel que soit le quadrilatère, si c’est un carré alors c’est un rectangle.
Quels que soient les nombres entiers relatifs, si deux nombres sont consécutifs alors leur produit est un nombre pair.
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